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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nosso objetivo neste exercício é resolver a equação diferencial pelo método de séries, proposto na seção 20.9. Dessa forma, assumiremos que a solução pode ser escrita na forma de uma série de potências. Calcularemos a derivada da série, assumindo que, no intervalo de convergência a série pode ser derivada termo por termo. Substituiremos os resultados na equação diferencial e colecionaremos os coeficientes polinomiais para obter um sistema de equações e obter os seus valores. Então, mãos à obra!

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assumiremos a seguinte forma para a solução da equação:

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A derivada pode ser calculada, no intervalo de convergência, como feito a seguir:

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Devemos satisfazer a seguinte equação diferencial:

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para que a última equação seja satisfeita, devemos ter:

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O sistema de equações do passo anterior é facilmente resolvido em termos do coeficiente . Assim, obtemos:

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com este resultado, a solução é colocada na seguinte forma:

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A somatória no passo anterior pode ser simplificada se adicionarmos e subtrairmos dos três primeiros termos faltantes para a função exponencial. Então, fazemos:

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para que a condição inicial seja satisfeita, devemos ter:

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo o parâmetro na solução encontrada, obtemos:

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a solução da equação diferencial é:

Importante: Veja que o resultado do gabarito está errado. A resposta apresentada aqui, com 4 no lugar de 2, está correta.