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Pré-cálculo - 3ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Pré-cálculo - 3ª Ed. 2013

Valéria Zuma Medeiros IBSN: 9788522116126

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Identifique o lugar geométrico, determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das equações:

9x2 + 16y2 − 54x + 32y − 47 = 0

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para identificar o lugar geométrico por meio da equação , vamos comparar com as equações da Circunferência, Elipse, Parábola e Hipérbole.

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Circunferência:

Sendo o centro da circunferência e seu raio.

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Elipse:

Sendo o centro da elipse, medida do eixo com relação e medida do eixo com relação a .

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Parábola:

ou

Sendo o vértice e a distância do foco ao vértice.

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Hipérbole:

ou

Sendo o centro da hipérbole, medida do eixo real e medida do eixo imaginário.

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para reduzir a equação, em uma das equações conhecidas, vamos pôr em evidência 9 em relação a e 16 em relação a e em seguida aplicar o procedimento conhecido como completar quadrado, neste caso duas vezes, uma para e outra para .

Portanto, a equação representa uma elipse com centro e .

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a elipse o domínio é dado por e a imagem é dada por , então

O domínio é

A imagem é

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim, para esboçar o gráfico, inserimos o centro e em seguida as medidas dos eixos, com relação a e com relação a .

Imagem 1