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Exercícios resolvidos: Probabilidade Aplicações a Estatística

Paul MeyerIBSN: 9788521602941

Elaborado por professores e especialistas

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Para resolver este problema, vamos utilizar nossos conhecimentos sobre função geratriz de momentos, utilizando as equações para o cálculo da esperança e da variância de uma variável aleatória. Acompanhe a resolução e bons estudos!

Passo 2 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Assim, a função densidade de probabilidade (fdp) é fornecida no enunciado como:

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De acordo com o que estudamos, a função geratriz de momentos é outra forma de identificarmos uma variável aleatória e pode ser calculada pela seguinte equação:

Passo 4 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, como a função f(x) já foi fornecida, podemos substituí-la na igualdade e calcular a integral:

Passo 5 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Outra informação fornecida pelo enunciado são os limites superior e inferior. Então, como o x varia de 0 a 1, estes serão nossos limites de integração:

Passo 6 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conforme aprendemos em Cálculo, podemos resolver esta integral pelo método de substituição. Vamos, então, fazer as seguintes substituições:

Passo 7 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pelo método de resolução de integrais por substituição, podemos reescrever esta integral da seguinte maneira:

Passo 8 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a função geratriz de momentos desta fdp é

.

Passo 9 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Agora, para calcularmos E(X), que conforme aprendemos é a esperança, ou seja, o valor esperado de uma variável aleatória X, podemos utilizar a seguinte igualdade:

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Então, como já calculamos o valor de , logo podemos fazer a seguinte substituição:

Passo 11 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, vamos calcular esta derivada para, em seguida, aplicar o limite:

Passo 12 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, podemos aplicar o limite e calcular a esperança E(X):

Passo 13 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o limite desta função tende a uma indeterminação 0/0. Para resolver este problema, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, onde vamos derivar o numerador e o denominador da fração para, em seguida, aplicarmos o limite:

Passo 14 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, para calcularmos o V(X), vamos utilizar a equação:

Passo 15 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O termo nós já calculamos, logo, para aplicar à equação basta que multipliquemos ao quadrado. Mas o termo nós ainda não sabemos, portanto precisamos calculá-lo. Para isso, vamos aplicar a seguinte equação:

Passo 16 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos então, calcular a derivada segunda da função geratriz . Como já temos o resultado da derivada primeira desta equação, basta que derivemos este resultado novamente:

Vamos agora aplicar o limite nesta função:

Passo 17 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Novamente, vamos precisar aplicar a regra de L’Hopital para eliminarmos a indeterminação 0/0:

Passo 18 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Já temos o valor dos dois termos que fazem parte da equação de V(X). Então vamos calculá-lo:

Passo 19 de 19keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, empregando a função geratriz temos e .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.