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Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

B P LathiIBSN: 9788560031139

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Resolva o Prob. 1 pelo método da transformada z.

Problema 1

Para pagar um empréstimo de M reais em N parcelas usando um valor fixo mensal de P reais, mostre que

onde r é a taxa de juros por reais por mês. [Dica: Este problema pode ser modelado pela Eq. (1) com o pagamento de P reais começando em n = 1. O problema pode ser analisado de duas formas (1) Considere o empréstimo como uma condição inicial y0[0] = −M e a entrada x[n] = Pu[n − 1]. O saldo do empréstimo é a soma da componente de entrada nula (devido a condição inicial) e a componente de estado nulo h[n] * x[n]. (2) Considere o empréstimo como a entrada −M em n = 0 juntamente com a entrada devido aos pagamentos. O saldo do empréstimo agora é a componente de estado nulo h[n] * x[n]. Como o empréstimo é quitado em N pagamentos, faça y[N] = 0.]

  (1)

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício iremos encontrar a transformada Z de um sinal.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Seja o sinal:

Com y[0]= -M, x[n]=Pu[n-1]

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, temos que:

Além disso, sabemos que:

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a transformada Z ao sistema de equações:

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então,

Desenvolvendo a expressão:

A equação se torna zero, quando n=N, ou seja, y[N]=0. Tendo n=N, nas equações acima, obtemos que:

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O que resulta em

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