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Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

B P Lathi IBSN: 9788560031139

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

No Capítulo 3, utilizamos outra aproximação para determinar um sistema digital que realiza um sistema analógico. Mostramos que um sistema analógico especificado pela Eq. (1) pode ser realizado usando o sistema digital especificado pela Eq. (2). Compare aquela solução com a solução resultante do método de invariância ao impulso. Mostre que um resultado é uma boa aproximação do outro e que a aproximação melhora quando T → 0.

  (1)

  (2)

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse problema foi dado a seguinte equação diferencial:

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a transformada de Laplace na função acima, encontramos que:

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Colocando a saída em evidência podemos escrever que:

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sendo assim, podemos escrever a função de transferência do sistema como sendo:

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considerando a transformada inversa de Laplace, podemos escrever que:

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos amostrar a função acima, utilizando a seguinte substituição, , com isso encontramos que:

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a transformada Z na função acima, encontramos a seguinte expressão:

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A série acima é geométrica, portanto, podemos escrever que:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos escrever a seguinte relação entre a entrada e saída do sistema:

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a Transformada Z inversa na equação acima, encontramos que:

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação acima pode se escrita como sendo:

Onde:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto foi provado que a equação diferencial dada no inicio do problema pode ser aproximada pela equação diferença acima, e possui uma precisão melhor para quando o valor do periodo é reduzido, o que resulta em mais a mostras.

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