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Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

B P Lathi IBSN: 9788560031139

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Determine a série trigonométrica compacta de Fourier para os sinais periódicos mostrados na Fig. Trace seus espectros de amplitude e fase. Permita que Cn assuma valores negativos se bn = 0, de tal forma que o espectro de fase possa ser eliminado. [Dica: use as Eqs. para as condições adequadas de simetria.]

Figura Sinais periódicos.

Eqs

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos dois sinais e vamos verificar qual deles é ímpar e qual é par para podermos aplicar a forma compacta da série de Fourier.

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Observamos que esse sinal é espelhado em relação ao eixo y, então ele obedece à condição para ser uma função par, .

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A série de Fourier na forma compacta para um sinal par é relembrada a seguir:

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos que o sinal periódico é e o período é de unidades de tempo. Aplicando na fórmula:

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver, precisamos aplicar a derivação por partes, e depois substituirmos da qual obtemos:

`

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a série de Fourier do sinal é

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Observamos agora que esse sinal é ímpar, já que atende a .

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Relembramos a série de Fourier compacta para um sinal ímpar:

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vemos que o período desse sinal também é de 2 unidades de tempo e que temos uma equação da reta . Aplicamos então na forma compacta e resolvemos a integral por partes, substituímos depois obtendo:

`

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a série de Fourier é dada por:

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