26
Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

Exercícios resolvidos: Sinais e Sistemas Lineares - 2ª Ed. 2007

B P Lathi IBSN: 9788560031139

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Considere um filtro com resposta em frequência

Mostre que esse filtro é fisicamente não realizável usando o critério no domínio do tempo [h(t) não causal] e o critério no domínio da frequência (Paley-Wiener). Esse filtro pode ser aproximadamente realizável escolhendo t0 suficientemente grande? Utilize seu próprio (razoável) critério e determine t0 de forma a realizar a aproximação desse filtro [Dica: utilize o par 22 da Tabela].

Tabela Transformadas de Fourier

Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Começaremos mostrando que o filtro mostrado abaixo não é fisicamente realizável usando dois critérios: no domínio do tempo e no domínio na frequência, conforme pedido. Dado o seguinte filtro:

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para analisar se o filtro é realizado fisicamente no domínio do tempo, aplicaremos a transformada diretamente, utilizando o par 22 da tabela 7.1. Logo:

Como podemos notar, a resposta h(t) começa antes da entrada ser aplicada(t=0), logo o filtro não é casual e, evidentemente, não é realizado fisicamente.

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, provaremos que o filtro não é realizável fisicamente, no domínio da frequência. Usaremos o critério de Paley-Wiener. Esse critério nos afirma que para o filtro ser realizável fisicamente, a condição mostrada abaixo precisa ser cumprida:

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Usaremos o critério de Paley-Wiener, obtemos:

Logo, a condição de estabilidade não é cumprida, portanto pelo critério de frequência o filtro não é realizável fisicamente.

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora descobriremos se o filtro pode ser aproximadamente realizado escolhendo suficiente grande utilizando critério próprio, determinando umde forma a realizar a aproximação desse filtro. Utilizando a funçãoe escolhendo o valor um valor para arbitrário (que seja suficiente para que função fique com um pequeno valor quando t=0) e retirando o termo constante da função, temos:

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finamente, descobrimos que o valor o filtro não é fisicamente realizável pelo critério no domínio do tempo e no domínio na frequência. E que introduzindo um atraso, ao filtro, ele pode ser aproximadamente realizável, com uma pequena diferença. Como no nosso cálculo que descobrimos: 0.011 ou de .