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Exercícios resolvidos: Um Curso de Cálculo - Vol. 3

Hamilton Luiz Guidorizzi IBSN: 9788521612575

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Um conjunto aberto conexo por caminhos será dito simplesmente conexo se para toda curva existe uma família , , de curvas fechadas com satisfazendo:

i)

ii) é contínua em .

iii) A imagem de é um ponto de .

Para mostrar que o conjunto satisfaz as condições acima, mostraremos antes que é estrelado. (Um conjunto é dito estrelado se existe um ponto tal que para todo ponto o segmento )

Passo 2 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Tome como no enunciado e onde , note que para qualquer ponto o segmento , e, portanto, é estrelado. (Note que a própria definição de conjunto estrelado nos diz que esse é conexo por caminhos, basta tomar como um intermediário de caminha entre quaisquer dois pontos).

Seja contínua e fechada em , então a curva:

Satisfaz as três condições para ser simplesmente conexa: , é contínua em e .

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