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Exercícios resolvidos: Um Curso de Cálculo Vol. 4 - 5ª Edição 2002

Hamilton Luiz Guidorizzi IBSN: 9788521613305

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

O exemplo 2 da seção 13.3 diz que duas funções e definidas em , com , para algum , são linearmente dependentes se, e somente se, existir um número real tal que, para todo , .

No nosso caso, temos , para todo . Então, e são linearmente dependentes se, e somente se, existir um número real tal que para todo , ou seja, a função deve ser constante, o que não é verdade.

Logo, e são linearmente independentes.

Passo 2 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

O wronskiano de e é dado por e temos que . Tomamos, então .

O teorema desta seção diz que, se são soluções da equação , com e contínuas em , então, e são linearmente independentes se, e somente se, o wronskiano de e for diferente de zero para todo .

Como o wronskiano de e não é diferente de zero para todo , segue que as soluções são linearmente dependentes, o que seria uma contradição com a parte (a).

Mas mostramos no exercício 2 da seção 13.2 que não existe equação do tipo , com e contínuas em , que admita e como soluções.

Logo, esse resultado não está em contradição com o teorema desta seção.

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