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Exercícios resolvidos: Um Curso de Cálculo Vol. 4 - 5ª Edição 2002

Hamilton Luiz Guidorizzi IBSN: 9788521613305

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos lembrar que a sequência de Cauchy é aquela em que o módulo da diferença de dois termos quaisquer e vai se tornando cada vez menor à medida que m e n crescem:

A sequência de Cauchy é convergente e limitada.

Adicionalmente, se fizermos , podemos representar a sequência da seguinte forma:

E, para uma série, temos que a série é convergente se, e somente se, para todo dado, existir um natural tal que, quaisquer que sejam os naturais m e n:

Passo 2 de 2keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, pelo critério de Cauchy, dado , existe um natural tal que, quaisquer que sejam os naturais m e n:

Fazemos com

Assim, temos:

Para p=1:

O que equivale a:

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