Exercícios resolvidos: Vetores e Geometria Analítica - 2ª Ed. 2014
Paulo WinterleIBSN: 9788543002392Elaborado por professores e especialistas
Exercício
Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, −3, 4) e B(1, −1, 2) e verificar se os pontos e D(−1, 3, 4) pertencem a r.
Passo 1 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Para determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A (2, -3, 4) e B (1, -1, 2) e verificar se os pontos C (, -4, 5) e D (-1, 3, 4) pertencem a r, vamos inicialmente resolver cada item separadamente.
Passo 2 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Equação vetorial da reta r: escolhemos um ponto de passagem, por exemplo, o ponto A, e então determinamos o vetor diretor: = B – A = (1 – 2, -1 –(-3), 2 – 4) = (-1, 2, -2).
A equação vetorial de r pode ser escrita, então, como:
(x, y, z) = (2, -3, 4) + t(-1, 2, -2)
Passo 3 de 3keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Agora vamos verificar se o ponto C pertence à reta r.
Para tanto, substituiremos as coordenadas de C na equação vetorial da reta e vamos checar se as três equações resultantes (uma para cada coordenada) na incógnita t (o parâmetro da equação vetorial de r) têm exatamente a mesma solução. Porque, se um mesmo valor de t satisfizer simultaneamente as três condições, isto significará que o vetor é de fato um múltiplo de
e, sendo assim, implicará em que C pertence à reta determinada pelos pontos A e B (isto é, a reta r). Tomando as coordenadas de C:
= 2 – t => t = 2 -
=> t = -
-4 = -3 + 2t => 2t = -4 + 3 => t = -
5 = 4 -2t => 2t = 4 – 5 => t = -
Concluímos, assim, que C pertence à reta r.
Agora, faremos o mesmo procedimento com o ponto D. Substituindo as suas coordenadas na equação vetorial de r, e verificando os três valores de t que resolvem as três equações resultantes, temos:
-1 = 2 – t => t = 2 + 1 => t = 3
3 = -3 + 2t => 2t = 3 + 3 => t = 3
4 = 4 -2t => 2t = 4 – 4 => t = 0
Concluímos, assim, que D não pertence à reta r.
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