Para determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A (2, -3, 4) e B (1, -1, 2) e verificar se os pontos C (, -4, 5) e D (-1, 3, 4) pertencem a r, vamos inicialmente resolver cada item separadamente.

Equação vetorial da reta r: escolhemos um ponto de passagem, por exemplo, o ponto A, e então determinamos o vetor diretor: = B – A = (1 – 2, -1 –(-3), 2 – 4) = (-1, 2, -2).

A equação vetorial de r pode ser escrita, então, como:

(x, y, z) = (2, -3, 4) + t(-1, 2, -2)

Agora vamos verificar se o ponto C pertence à reta r.

Para tanto, substituiremos as coordenadas de C na equação vetorial da reta e vamos checar se as três equações resultantes (uma para cada coordenada) na incógnita t (o parâmetro da equação vetorial de r) têm exatamente a mesma solução. Porque, se um mesmo valor de t satisfizer simultaneamente as três condições, isto significará que o vetor é de fato um múltiplo de e, sendo assim, implicará em que C pertence à reta determinada pelos pontos A e B (isto é, a reta r). Tomando as coordenadas de C:

= 2 – t => t = 2 - => t = -

-4 = -3 + 2t => 2t = -4 + 3 => t = -

5 = 4 -2t => 2t = 4 – 5 => t = -

Concluímos, assim, que C pertence à reta r.

Agora, faremos o mesmo procedimento com o ponto D. Substituindo as suas coordenadas na equação vetorial de r, e verificando os três valores de t que resolvem as três equações resultantes, temos:

-1 = 2 – t => t = 2 + 1 => t = 3

3 = -3 + 2t => 2t = 3 + 3 => t = 3

4 = 4 -2t => 2t = 4 – 4 => t = 0

Concluímos, assim, que D não pertence à reta r.