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Vetores e Geometria Analítica - 2ª Ed. 2014

Exercícios resolvidos: Vetores e Geometria Analítica - 2ª Ed. 2014

Paulo WinterleIBSN: 9788543002392

Elaborado por professores e especialistas

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Exercício

Seja o plano

π: 3x + y − z − 4 = 0

Calcular:

a) o ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3;


b) o ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2;


c) o valor de k para que o ponto P(k, 2, k − 1) pertenya a π;


d) o ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;


e) o valor de k para que o plano π1,: kx − 4y + 4z − 7 = 0 seja paralelo a π.

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para achar a exata localização de um ponto que pertence a plano dado, vamos considerar que esse ponto pertence ao plano dado.

Logo, vamos substituir os pontos x=1 e y=3 na equação do plano dado para encontrar o valor de z, ou seja:

Então, dado x e y, encontramos z=2, logo o ponto procurado é

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, o ponto que procuramos é o de coordenadas .

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para achar a exata localização de um ponto que pertence a plano dado, vamos considerar que esse ponto pertence ao plano dado.

Logo, vamos substituir os pontos x=0 e z=2 na equação do plano dado para encontrar o valor de z, ou seja:

Então, dado x e z, encontramos y=-6, logo o ponto procurado é .

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, o ponto procurado é expresso por .

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Para achar a exata localização de um ponto que pertence a plano dado, vamos considerar que esse ponto pertence ao plano dado.

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, vamos substituir o ponto dado para encontrar o valor de k, ou seja:

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, a partir do ponto dado temos que .

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Para achar a exata localização de um ponto que pertence a plano dado, vamos considerar que esse ponto pertence ao plano dado.

Logo, vamos substituir os pontos x=2 e y=2z na equação do plano dado para encontrar o valor de z, ou seja:

Como z=2 então como a ordenada foi dada como o dobro da cota então y=4

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, o ponto procurado é expresso por .

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Sabemos que os planos paralelos possuem o mesmo vetor normal. Assim, as coordenadas do vetor normal do plano dado precisam ser múltiplas das coordenadas do plano fornecido nesse quinto item. Ou seja, devemos impor a seguinte proporção: os numeradores das frações representam os coeficientes de um dos planos e os denominadores os coeficientes do outro plano, da seguinte forma:

Reescrevendo temos:

Ou seja,

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, vamos encontrar k:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, k deve ser igual a -12 para que os planos sejam paralelos.

Exercícios resolvidos no Capítulo 6

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.