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Vibrações Mecânicas

Exercícios resolvidos: Vibrações Mecânicas

Singiresu RaoIBSN: 9788576052005

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Determine as freqüências naturais do sistema mostrado na Figura 5.16, com m1 = m, m2 = 2m, k1 = k e k2 = 2k. Determine a resposta do sistema quando k = 1.000 N/m, m = 20 kg e os valores iniciais dos deslocamentos das massas m1 e m2 são 1 e −1, respectivamente.

FIGURA 5.16

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvermos esse problema, iremos utilizar os conhecimentos adquiridos na sessão 5.3 do livro texto, que trata de vibrações livres de sistemas não amortecidos. Vamos lá!

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para começar, veja que solucionaremos esse problema, partindo das equações do movimento, que são dadas por:

`

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como por definição , a equação da frequência do movimento é dada por:

.

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Resolvendo a matriz anterior, temos que:

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dividindo todas as parcelas da equação anterior pelo fator , temos:

.

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como a equação é da forma quadrática, podemos aplicar a fórmula de Bháskara para calcular suas raízes, e :

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo nas raízes calculadas no passo anterior os valores dados pelo enunciado, chegamos ao valor das frequências naturais. Começando por :

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados no resultado do passo anterior, chegamos ao valor da frequência natural :

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Repetindo o passo anterior para , chegamos a:

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados, chegamos ao valor da frequência natural :

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, as frequências naturais do sistema, obedecendo às condições determinadas pelo enunciado são:

e.

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