Qual o recurso utilizado para os despachos? fundamente.

Não cabe recurso para despachos (art. 504 do CPC) pois eles não possuem conteúdo decisório, apenas servido para o prosseguimento do processo. Todavia a melhor doutrina admite que se o despacho adquire natureza decisória ele se transmutará em decisão interlocutória e poderá ser atacado por agravo de instrumento.

Fonte: CPC e CONJUR.

Matéria sobre o assunto: http://www.conjur.com.br/2013-abr-24/possivel-recurso-qualquer-ato-juiz-conteudo-decisorio