Ache os pontos da curva y = 4x 3 + 6x 2 – 24x + 10 nos quais a tangente é horizontal

Olá, Guilherme! A tangente de uma curva pode ser expressa através da equação da reta, utilizando como valor do coeficiente angular, o valor da derivada da função. Utilizando as regras já conhecidas de derivação, temos: f(x)= 4x³+6x²-24x+10, f'(x) = 12x²+12x-24. A tangente é horizontal quando a variação Delta y é 0, ou seja, f'(x) = 0. Os valores de x que atendem essa condição são: 4 e -2.

f(4) = 266

f(-2) = 50

Os pontos da curva são, portanto: P1(4,266); P2(-2,50)

Espero ter ajudado! :)

Bom no caso seria f(1)=-4 e f(-2)=50 os pontos corretos

Neste exercício, serão determinados os pontos da curva \(y = 4x^3+6x^2-24x+10\) nos quais a tangente é horizontal. Para isso, deve-se saber que, quando a tangente é horizontal, sua inclinação é zero, ou seja:

\(\Longrightarrow {dy \over dx}=0\)

Com isso, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {d \over dx}(4x^3+6x^2-24x+10)=0\)

\(\Longrightarrow 4 \cdot 3x^2+6\cdot 2x-24=0\)

\(\Longrightarrow 12x^2+12x-24=0\)

\(\Longrightarrow x^2+x-2=0\)

A equação anterior está no formato adequado para a Fórmula de Bhaskara, com \(a=1\), \(b=1\) e \(c=-2\). Portanto, a solução da equação anterior é:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 (-2)} \over 2 \cdot 1}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{9} \over 2 }\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm 3 \over 2 }\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = -2 \end{matrix} \right.\)

Substituindo os valores encontrados na equação da curva, tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1 = 4x_1^3+6x_1^2-24x_1+10 \\ y_2 = 4x_2^3+6x_2^2-24x_2+10 \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1 = 4\cdot 1^3+6\cdot 1^2-24\cdot 1+10 \\ y_2 = 4(-2)^3+6(-2)^2-24(-2)+10 \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y_1 = -4 \\ y_2 = 50 \end{matrix} \right.\)

Concluindo, os pontos onde há tangentes horizontais são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} (x_1;y_1) \\ (x_2;y_2) \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} (1;-4) \\ (-2;50) \end{matrix} \right. $}\)