Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas. Com relação a isso, deduza a fórmula de um paralelogramo utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
Para deduzir a fórmula do volume de um paralelogramo utilizando integrais triplas, consideraremos o paralelogramo em um espaço tridimensional com arestas definidas pelos vetores a, b e c. Vamos denotar esses vetores como a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) e c = (c₁, c₂, c₃).
O volume do paralelogramo pode ser calculado como a integral tripla da função constante 1 em relação às variáveis x, y e z que descrevem o paralelogramo. Vamos denotar esse volume como V.
Assim, podemos escrever a integral tripla para o volume do paralelogramo como:
V = ∭(R) dV
Onde R é a região no espaço definida pelos limites de integração.
Para definir os limites de integração, vamos considerar que o paralelogramo é delimitado por intervalos em cada direção x, y e z.
Em relação à direção x, vamos considerar os intervalos que vão de 0 a a₁, de 0 a b₁ e de 0 a c₁.
Em relação à direção y, vamos considerar os intervalos que vão de 0 a a₂, de 0 a b₂ e de 0 a c₂.
Em relação à direção z, vamos considerar os intervalos que vão de 0 a a₃, de 0 a b₃ e de 0 a c₃.
Portanto, podemos definir os limites de integração como:
0 ≤ x ≤ a₁
0 ≤ y ≤ a₂
0 ≤ z ≤ a₃
0 ≤ x ≤ b₁
0 ≤ y ≤ b₂
0 ≤ z ≤ b₃
0 ≤ x ≤ c₁
0 ≤ y ≤ c₂
0 ≤ z ≤ c₃
Agora, podemos calcular o volume do paralelogramo utilizando a integral tripla:
V = ∭(R) dV
V = ∫₀ˣₐ ∫₀ʸₐ ∫₀ᶻₐ dz dy dx + ∫₀ˣₐ ∫₀ʸₐ ∫₀ᶻₐ dz dy dx + ∫₀ˣₐ ∫₀ʸₐ ∫₀ᶻₐ dz dy dx
V = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃
Portanto, a fórmula do volume do paralelogramo é dada por:
V = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃
Essa dedução é baseada na definição de volume como a integral tripla da função constante 1 em relação às variáveis x, y e z, considerando os limites de integração adequados para representar o paralelogramo no espaço tridimensional.
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