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Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.

Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas. Com relação a isso, deduza a fórmula de um paralelogramo utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.

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Núbia e Leonardo

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Renato Mello

Para deduzir a fórmula do volume de um paralelogramo utilizando integrais triplas, consideraremos o paralelogramo em um espaço tridimensional com arestas definidas pelos vetores a, b e c. Vamos denotar esses vetores como a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) e c = (c₁, c₂, c₃).

O volume do paralelogramo pode ser calculado como a integral tripla da função constante 1 em relação às variáveis x, y e z que descrevem o paralelogramo. Vamos denotar esse volume como V.

Assim, podemos escrever a integral tripla para o volume do paralelogramo como:

V = ∭(R) dV

Onde R é a região no espaço definida pelos limites de integração.

Para definir os limites de integração, vamos considerar que o paralelogramo é delimitado por intervalos em cada direção x, y e z.

Em relação à direção x, vamos considerar os intervalos que vão de 0 a a₁, de 0 a b₁ e de 0 a c₁.

Em relação à direção y, vamos considerar os intervalos que vão de 0 a a₂, de 0 a b₂ e de 0 a c₂.

Em relação à direção z, vamos considerar os intervalos que vão de 0 a a₃, de 0 a b₃ e de 0 a c₃.

Portanto, podemos definir os limites de integração como:

0 ≤ x ≤ a₁

0 ≤ y ≤ a₂

0 ≤ z ≤ a₃

0 ≤ x ≤ b₁

0 ≤ y ≤ b₂

0 ≤ z ≤ b₃

0 ≤ x ≤ c₁

0 ≤ y ≤ c₂

0 ≤ z ≤ c₃

Agora, podemos calcular o volume do paralelogramo utilizando a integral tripla:

V = ∭(R) dV

V = ∫₀ˣₐ ∫₀ʸₐ ∫₀ᶻₐ dz dy dx + ∫₀ˣₐ ∫₀ʸₐ ∫₀ᶻₐ dz dy dx + ∫₀ˣₐ ∫₀ʸₐ ∫₀ᶻₐ dz dy dx

V = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃

Portanto, a fórmula do volume do paralelogramo é dada por:

V = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃

Essa dedução é baseada na definição de volume como a integral tripla da função constante 1 em relação às variáveis x, y e z, considerando os limites de integração adequados para representar o paralelogramo no espaço tridimensional.

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Agledi Maria Lima

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