Esboce o gráfico e determine o conjunto imagem da função real definida por f(x)=x2-2x+3

x² - 2x + 3 = 0 

a= 1

b = -2 

c = 3 

Δ = b² - 4ac 

Δ = (-2)² - 4*1*3

Δ = -8 

Como Δ < 0, não possui raízes reais.

Xv = -b/2a = -(-2)/2 = 1 

Yv = -Δ/4a = -(-8)/4 = 2 

Ponto de mínimo = (1,2)

Ponto (0,c) = (0,3)

Gráfico:

Imagem : [2,∞[ 

Vamos lá... 

Primeiro note que dada uma equação do segundo grau na sua forma geral é tal que:

f(x) = ax^2 + bx + c  (Parábola)

Seguem os seguintes passos:

(i) Identificando os termos

a = 1

b = -2

c = 3

delta = b^2 - 4ac = -8

Xvértice = -b/2a = 1

Yvértice = -delta/4a = 2

Vércite = (Xvértice,Yvértice) = (1,2)

(ii) Concavidade da curva

Sendo assim como a>0 (concavidade é voltada para cima) 

(iii) Interseção com o eixo das ordenadas, isto é, eixo OY

É so observar que se algum ponto intersecta o eixo OY esse ponto é dado quando x=0. 

Dai, é só encontrar a imagem de f(x) quando x=0. 

f(0) = 0^2 - 2x0 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3

(iv) Imagem da função f(x) 

Como se trata de uma parábola com a>0 (concavidade voltada para cima) sabe-se que tal função possui valor mínimo. Tal valor é dado pelo Yvertice (Yvertice = 2).

Dessa forma, já pode-se concluir que a imagem de f(x) é sempre maior ou igual à 2. 

Matematicamente, uma das diversificadas maneiras de se escrever tal afirmação é:

Im(f(x)) = [2,+inf)  

obs.: inf é infinito

(v) Já é possivél esboçar o gráfico com essas informações... (Desculpa a falta de tecnologia)

                y ^

      °           |                                   °

         °        |                                °

               3  |                          °

                   |  °               °

               2  |--------º (Vértice da Parábola)

---------------|--------|-------------------------> x

                   |          1

                   | 

(vi) Raízes (Encontram-se as raizes quando f(x) = 0)

Como delta < 0 (Tem-se que não existem raizes reais como solução, isto é, o gráfico de f(x) não intersecta o eixo das abiscissas "OX")

(vii) Adendo

Da solução de equação do segundo grau sabe-se que:

x1 = (-b - sqrt(delta))/2a

x2 = (-b + sqrt(delta))/2a

obs.: sqrt(delta) = "raiz quadrada de delta" = (delta)^(1/2)

Deixando de lado o domínio dos Reais e estudando o campo dos números complexos tem-se que:

x1 = (-b - sqrt(delta))/2a = (2 - sqrt(-8))/2 = (2 - 2 sqrt(2)sqrt(-1))/2 => 

x2 = (-b + sqrt(delta))/2a = (2 + sqrt(-8))/2 = (2 + 2 sqrt(2)sqrt(-1))/2 =>

=> x1 = (1 - sqrt(2)sqrt(-1)) =  1 - sqrt(2)i 

=> x2 = (1 + sqrt(2)sqrt(-1)) = 1 + sqrt(2)i

obs.: sqrt(-1) = i (unidade imaginária)

Como era de se esparar as raízes são números complexos conjugadas (x1 = conjugado(x2)).

BONS ESTUDOS!

outra forma de representar a imagem ?