não consegui integrar (e^x+1)^5.e^x dx alguém poderia me explicar?

usa duas substituições
a = e^x
a da = e^x dx

a integral vai ficar ∫(a-1)^5 * a da

usando substituição de novo

a-1 = b
a da = db

e a integral vira ∫b^5 db

ai é só integrar e voltar com as substituições

Neste exercício, será realizada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int (e^x + 1)^5 \cdot e^x \, dx\)

Será utilizado o método da substituição. Criando uma variável \(u=e^x + 1\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {du \over dx} = {d \over dx}(e^x + 1)\)

\(\Longrightarrow {du \over dx} = e^x\)

\(\Longrightarrow du = e^x\, dx\)

Substiuindo os termos conhecidos na integral, tem-se que:

\(\Longrightarrow \int (e^x + 1)^5 \cdot (e^x \, dx)\)

\(\Longrightarrow \int u^5 \, du\)

\(\Longrightarrow {1 \over 6}u^6+c\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.

Retornando à variável \(x\), o resultado da integral é:

\(\Longrightarrow \int (e^x + 1)^5 \cdot e^x \, dx = {1 \over 6}u^6+c\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int (e^x + 1)^5 \cdot e^x \, dx = {1 \over 6}(e^x + 1)^6+c $}\)