Um carro A deslocando-se com velocidade constante vA = 30 m/s...

a) O carro A anda a va = 30 m/s durante 5s. Então, a sua distância com relação a B será

d = va*t = 150 m

b) Agora vamos assumir a posição inicial de B como 0. Quando B cisma de participar do racha, A já está a 150 m na sua frente. Além disso, como ele anda a velocidade constante de 30 m/s, sua posição como função do tempo pode ser descrita como:

sa = sa0 + va*t
     = 150 + 30t

Como B anda com aceleração constante e parte do repouso (vb0 = 0) e da posição que a gente assumiu como 0 (sb0 = 0), a equação que descreve a posição sb de B é:

sb = sb0 + vb0*t + (1/2)*a*t²
     = 0 + 0 + (1/2)*4*t²
     = 2*t²

A pergunta é o tempo gasto para que sa = sb. Fazendo isso:

150 + 30t = 2t²,     ou
2t² - 30t - 150 = 0, ou ainda
t² - 15t - 75 = 0

As raízes dessa equação do segundo grau são

t = [15 ± √(15² + 4*1*75)] / (2*1)
  = (15 ± √525) / 2

Então,

t1 = -3,9564, e t2 = 18,956

Como o primeiro tempo é negativo, a resposta correta é: B alcançará A após t2 = 18,956 s.

c) A velocidade de B pode ser descrita como

vb = vb0 + a*t    e, como ele parte do repouso,
     = 4t

Após t = 18,956s, sua velocidade será

vb = 4*18,956 = 75,826 m/s

Obrigado Fillipe ! Ajudou muito :)

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos de movimento retilíneo uniforme e movimento retilíneo uniformemente variável. Para isso, serão utilizadas as funções de posição e velocidade apresentadas a seguir:

\(\rightarrow s(t)=s_{0}+v_{0}t+{a \over 2}t^2\)

\(\rightarrow v(t)=v_{0}+at\)

Sendo \(s(t)\) a posição final em função do tempo, \(s_{0}\) a posição inicial, \(v_{0}\) a velocidade inicial, \(a\) a aceleração e \(t\) o tempo decorrido.

Considerando o boxe como a posição de referência, temos que \(s_{0}=0 \space \mathrm m\).

(a)

Agora, será calculada a distância entre os carros no momento da partida do carro B. Para isso, será considerado que o carro B foi ultrapassado no instante \(t=0 \space \mathrm s\).

Sabe-se que a velocidade do carro A durante todo o trajeto é \(v_{A}=30 \space \mathrm {m/s}\), e que o carro B partiu no instante de tempo \(t=5 \space \mathrm s\). Portanto, o valor da distância entre os carros em \(t=5 \space \mathrm s\) é:

\(\rightarrow d_{AB}=v_{A} \space t\)

\(\rightarrow d_{AB}=30 \cdot 5\)

\(\rightarrow \fbox {$ d_{AB}=150 \space \mathrm m $}\)

(b)

Agora, será calculado o tempo necessário para o carro B alcançar o carro A. Para isso, será utilizada a seguinte função:

\(\rightarrow s(t)=s_{0}+v_{0}t+{a \over 2}t^2\)

No momento que o carro B parte, o carro A está distante \(150 \space \mathrm m\). Portanto, a posição inicial do carro A em relação ao referencial é \(s_{0,A}=150 \space \mathrm m\). Além disso, como a velocidade do carro A é constante em todo o trajeto, sua aceleração é \(a_{A}=0 \space \mathrm{m/s^2}\). Portanto, a expressão \(s_{A}(t)\) é:

\(\rightarrow s_{A}(t)=s_{0,A}+v_{0,A} \space t+{a_{A} \over 2}t^2\)

\(\rightarrow s_{A}(t)=150+30t \space \mathrm m \space \space (I)\)

No momento que o carro B parte, o carro B está no referencial \(s_{0,B}=0 \space \mathrm m\). Conforme dito no enunciado, sua velocidade inicial é \(v_{0,B}=0 \space \mathrm{m/s}\) e sua aceleração é \(a_{B}=4 \space \mathrm{m/s^2}\). Portanto, a expressão \(s_{B}(t)\) é:

\(\rightarrow s_{B}(t)=s_{0,B}+v_{0,B}t+{a_{B} \over 2}t^2\)

\(\rightarrow s_{B}(t)={4 \over 2}t^2\)

\(\rightarrow s_{B}(t)=2t^2 \space \mathrm m \space \space (II)\)

Sendo \(t_{1}\) o instante de encontro dos carros A e B, é possível escrever a seguinte relação:

\(\rightarrow s_{A}(t_{1})=s_{B}(t_{1})\)

Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\) na relação anterior, o valor do instante \(t_{1}\) é:

\(\rightarrow 150+30t_{1}=2t_{1}^2\)

\(\rightarrow 2t_{1}^2-30t_{1}-150=0\)

\(\rightarrow t_{1}^2-15t_{1}-75=0\)

Através da Fórmula de Bhaskara, o valor de \(t_{1}\) é:

\(\rightarrow t_{1} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\rightarrow t_{1} = {-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4*1*(-75)} \over 2*1}\)

\(\rightarrow t_{1} = {15 \pm \sqrt{(225+300)} \over 2}\)

Como o valor do tempo não pode ser menor do que zero, o valor de \(t_{1}\) é, aproximadamente:

\(\rightarrow t_{1} = {15 + \sqrt{(525)} \over 2}\)

\(\rightarrow \fbox {$ t_{1} = 18,96 \space \mathrm s $}\)

(c)

Agora, será calculada a velocidade do carro B no instante que ele ultrapassa o carro A. Para isso, será utilizada a seguinte função:

\(\rightarrow v(t)=v_{0}+at\)

Para o carro B, a função \(v_{B}(t)\) é:

\(\rightarrow v_{B}(t)=v_{0,B}+a_{B} \space t\)

\(\rightarrow v_{B}(t)=4t \space \mathrm {m/s}\)

Substituindo o valor \(t_{1} = 18,96 \space \mathrm s\) na equação anterior, o valor de \(v_{B}(t_{1})\) é, aproximadamente:

\(\rightarrow v_{B}(t)=4 \cdot 18,96\)

\(\rightarrow \fbox {$ v_{B}(t)=75,83 \space \mathrm {m/s} $}\)