Calculate the integral: ∫sin^3(x)sen^2(x) dx

Para calcular a integral ∫sin^3(x)sen^2(x) dx, podemos usar a identidade trigonométrica sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2. Substituindo essa identidade na integral, temos: ∫sin^3(x)sen^2(x) dx = ∫sin(x)(1 - cos(2x))/2 dx Podemos separar essa integral em duas partes: ∫sin(x)(1 - cos(2x))/2 dx = (1/2)∫sin(x) dx - (1/2)∫sin(x)cos(2x) dx A integral de sin(x) é -cos(x), então temos: (1/2)∫sin(x) dx = (1/2)(-cos(x)) + C1 = -cos(x)/2 + C1 Agora, vamos calcular a segunda parte da integral: (1/2)∫sin(x)cos(2x) dx Podemos usar a substituição u = sin(x), du = cos(x) dx. Então, a integral se torna: (1/2)∫u cos(2x) du Agora, substituímos cos(2x) por 1 - 2sin^2(x): (1/2)∫u(1 - 2sin^2(x)) du Podemos separar essa integral em duas partes: (1/2)∫u(1 - 2sin^2(x)) du = (1/2)∫u du - (1/2)∫2u sin^2(x) du A primeira integral é simplesmente (1/2)u^2, e a segunda integral pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2: (1/2)∫2u sin^2(x) du = ∫u(1 - cos(2x)) du = ∫u du - ∫u cos(2x) du A primeira integral é (1/2)u^2, e a segunda integral já calculamos anteriormente como -cos(x)/2 + C1. Portanto, temos: (1/2)∫2u sin^2(x) du = (1/2)u^2 - (1/2)(-cos(x))/2 + C1 = (1/2)u^2 + (1/4)cos(x) + C1 Agora, substituímos u por sin(x) novamente: (1/2)u^2 + (1/4)cos(x) + C1 = (1/2)sin^2(x) + (1/4)cos(x) + C1 Agora, somamos as duas partes da integral: (1/2)∫sin(x) dx - (1/2)∫sin(x)cos(2x) dx = -cos(x)/2 + (1/2)sin^2(x) + (1/4)cos(x) + C1 Simplificando, temos: ∫sin^3(x)sen^2(x) dx = -cos(x)/2 + (1/2)sin^2(x) + (1/4)cos(x) + C1 Portanto, essa é a resposta para a integral ∫sin^3(x)sen^2(x) dx.