O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de integral. Ele é um S alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um limite...

∫_0^2▒3x^2 dx:

Para calcular essa integral, precisamos aplicar a fórmula da integral:

∫f(x) dx = F(x) + C

Onde F(x) é a antiderivada de f(x) e C é a constante de integração.

Nesse caso, temos:

f(x) = 3x^2

Precisamos encontrar a antiderivada de f(x):

F(x) = x^3 + C

Agora, vamos substituir os limites de integração na equação:

∫_0^2▒3x^2 dx = F(2) - F(0)

= (2^3 + C) - (0^3 + C)

= 8 - 0

= 8

Portanto, a integral de 3x^2 de 0 a 2 é igual a 8.

∫sen^2 x/3 dx:

Para calcular essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica:

sen^2 x = (1 - cos 2x)/2

Então, temos:

∫sen^2 x/3 dx = (1/2) ∫(1 - cos 2x)/3 dx

= (1/2) (∫1/3 dx - ∫cos 2x/3 dx)

= (1/2) (x/3 - (1/3) sen 2x + C)

Substituindo os limites de integração:

∫sen^2 x/3 dx = (1/2) [(2/3) - (1/3) sen 4 + (0 - 0)]

= 1/3 - (1/6) sen 4

Portanto, a integral de sen^2 x/3 de 0 a 4 é igual a 1/3 - (1/6)sen4.

∫sec 4x^2 dx:

Para calcular essa integral, podemos usar a regra da cadeia para fazer a substituição:

u = 4x^2

du/dx = 8x

du = 8x dx

dx = du/(8x)

Então, temos:

∫sec 4x^2 dx = (1/8) ∫sec u du

= (1/8) ln |sec u + tan u| + C

Substituindo u = 4x^2:

∫sec 4x^2 dx = (1/8) ln |sec(4x^2) + tan(4x^2)| + C

Substituindo os limites de integração:

∫_0^2▒sec 4x^2 dx = (1/8) ln |sec(16) + tan(16)| - (1/8) ln |sec(0) + tan(0)|

= (1/8) ln |sec(16) + tan(16)|

Portanto, a integral de sec 4x^2 de 0 a 2 é igual a (1/8) ln |sec(16) + tan(16)|.