Seja f:Z²→Z² definida por f((x,y)) = ((x-y,0), considere as informações: (1) {(x,x) ∈ Z²} é um subgrupo do grupo aditivo Z². (2) {(x,0) ∈ Z²} é um subgrupo aditivo Z². (3) Para todos (x,y) ∈ Z² temos -f(x,y) = f((-x, -y)). É CORRETO afirmar que: a. (1) e (3) são verdadeiras e (2) é falsa. b. (2) e (3) são verdadeiras e (1) é falsa. c. (1) e (2) são verdadeiras e (3) é falsa. d. (1) e (3) são falsas e (2) é verdadeira. e. (1), (3) são verdadeiras
Respostas
Ed 
há 2 anos
A alternativa correta é a letra A: (1) e (3) são verdadeiras e (2) é falsa.
Justificativa:
(1) é verdadeira, pois {(x,x) ∈ Z²} é um subconjunto de Z² que contém o elemento neutro (0,0) e é fechado em relação à operação de adição. Além disso, para qualquer elemento (x,x) do subconjunto, o inverso aditivo é (-x,-x), que também pertence ao subconjunto.
(2) é falsa, pois {(x,0) ∈ Z²} não é fechado em relação à operação de adição. Por exemplo, (1,0) e (0,1) pertencem ao subconjunto, mas sua soma (1,1) não pertence.
(3) é verdadeira, pois -f(x,y) = -((x-y,0)) = (-x+y,0) = f((-x,-y)).
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