7. As medidas dos lados de um triângulo ABC são 5,2 cm, 6,5 cm e 7,3 cm. Seja MNP o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de ABC....

a) Para encontrar o perímetro de MNP, precisamos primeiro encontrar as medidas dos lados de MNP. Sabemos que M, N e P são os pontos médios dos lados de ABC, então podemos encontrar as medidas dos lados de MNP usando a fórmula para encontrar o ponto médio de um segmento de reta: M = (A + B) / 2 N = (B + C) / 2 P = (A + C) / 2 Substituindo as medidas dos lados de ABC, temos: M = (5,2 + 6,5) / 2 = 5,85 cm N = (6,5 + 7,3) / 2 = 6,9 cm P = (5,2 + 7,3) / 2 = 6,25 cm Agora podemos encontrar o perímetro de MNP somando as medidas dos lados: Perímetro de MNP = M + N + P = 5,85 + 6,9 + 6,25 = 19 cm Portanto, o perímetro de MNP é 19 cm. b) Para provar que MNP é semelhante a ABC, precisamos mostrar que os ângulos correspondentes são congruentes e que os lados correspondentes são proporcionais. Os ângulos correspondentes são: ∠M = ∠A/2 ∠N = ∠B/2 ∠P = ∠C/2 Como os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados de ABC, podemos usar a propriedade dos pontos médios para mostrar que os lados correspondentes são proporcionais: MN = BC/2 NP = AC/2 MP = AB/2 Substituindo as medidas dos lados de ABC, temos: MN = 6,5 / 2 = 3,25 cm NP = 7,3 / 2 = 3,65 cm MP = 5,2 / 2 = 2,6 cm Agora podemos verificar se os lados correspondentes são proporcionais: MN/BC = 3,25/5,2 ≈ 0,625 NP/AC = 3,65/7,3 ≈ 0,5 MP/AB = 2,6/6,5 ≈ 0,4 Podemos ver que os lados correspondentes são proporcionais, então MNP é semelhante a ABC. Portanto, provamos que MNP é semelhante a ABC.