Utilizando a propriedade do produto para cálculo de limite de duas variáveis, calcule lim(x->0) (x * sin(1/x)) e assinale a alternativa correta: ...

Para calcular o limite lim(x->0) (x * sin(1/x)), podemos utilizar a propriedade do produto de limites. Primeiro, vamos analisar o limite de sin(1/x) quando x se aproxima de 0. Quando x se aproxima de 0, o valor de 1/x se aproxima do infinito. Nesse caso, a função seno oscila rapidamente entre -1 e 1, mas não se aproxima de um valor específico. Portanto, o limite de sin(1/x) quando x se aproxima de 0 não existe. Agora, vamos analisar o limite de x quando x se aproxima de 0. Nesse caso, o valor de x se aproxima de 0. A propriedade do produto de limites nos diz que se o limite de uma função f(x) existe e o limite de outra função g(x) existe, então o limite do produto f(x) * g(x) também existe e é igual ao produto dos limites individuais. No nosso caso, o limite de x quando x se aproxima de 0 é 0 e o limite de sin(1/x) quando x se aproxima de 0 não existe. Portanto, o limite de (x * sin(1/x)) quando x se aproxima de 0 também não existe. Dessa forma, nenhuma das alternativas apresentadas está correta.