Usando a integração por partes, assinale a alternativa correta que corresponde ao valor da integral: ∫x2ln(x)dx a. x2(ln(x)−13)+c b. x2(ln(x))...

Para resolver a integral ∫x^2ln(x)dx usando integração por partes, podemos escolher u = ln(x) e dv = x^2dx. Calculando du e v, temos: du = (1/x)dx v = (1/3)x^3 Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: ∫x^2ln(x)dx = x^3ln(x) - ∫(1/3)x^3(1/x)dx ∫x^2ln(x)dx = x^3ln(x) - (1/3)∫x^2dx ∫x^2ln(x)dx = x^3ln(x) - (1/3)(1/3)x^3 + C ∫x^2ln(x)dx = x^3ln(x) - (1/9)x^3 + C Portanto, a alternativa correta é a letra d) x^3(ln(x)−1/3)+C.

Para resolver a integral ∫�2ln⁡(�) ��

∫x2

ln(x)dx usando integração por partes, vamos escolher �=ln⁡(�)

u=ln(x) e ��=�2 ��

dv=x2

dx. Isso significa que ��=1� ��

du=x

1

​dx e �=13�3

v=3

1

​x3

.

Usando a fórmula de integração por partes:

∫� ��=��−∫� ��

∫udv=uv−∫vdu

Temos:

∫�2ln⁡(�) ��=13�3ln⁡(�)−∫13�3⋅1� ��

∫x2

ln(x)dx=3

1

​x3

ln(x)−∫3

1

​x3

⋅x

1

​dx

Simplificando:

=13�3ln⁡(�)−13∫�2 ��

=3

1

​x3

ln(x)−3

1

​∫x2

dx

=13�3ln⁡(�)−13⋅13�3+�

=3

1

​x3

ln(x)−3

1

​⋅3

1

​x3

+C

=13�3ln⁡(�)−19�3+�

=3

1

​x3

ln(x)−9

1

​x3

+C

Portanto, a alternativa correta é:

�.13�3ln⁡(�)−19�3+�

d.3

1

​x3

ln(x)−9

1

​x3

+C