4. Dada das matrizes A=( 2 4 1 2 0 −1) e B=( 1 0 −3 1). Determine, caso exista: a) A∙B b) A t ∙ B

Para resolver a questão, precisamos primeiro entender as dimensões das matrizes A e B. A matriz A é uma matriz 2x3 (2 linhas e 3 colunas): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] A matriz B é uma matriz 2x2 (2 linhas e 2 colunas): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \] Agora, vamos analisar as operações: a) Para calcular \( A \cdot B \), as dimensões não são compatíveis, pois A tem 3 colunas e B tem 2 linhas. Portanto, a multiplicação \( A \cdot B \) não existe. b) Para calcular \( A^t \cdot B \), precisamos primeiro encontrar a transposta de A, que será uma matriz 3x2: \[ A^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \] Agora, podemos multiplicar \( A^t \) (3x2) por B (2x2). As dimensões são compatíveis (o número de colunas de A^t é igual ao número de linhas de B). O resultado será uma matriz 3x2. Vamos calcular: \[ A^t \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \] Calculando cada elemento da matriz resultante: 1. Primeira linha: - \( 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = 2 - 6 = -4 \) - \( 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0 + 2 = 2 \) 2. Segunda linha: - \( 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) = 4 + 0 = 4 \) - \( 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 = 0 \) 3. Terceira linha: - \( 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) = 1 + 3 = 4 \) - \( 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 0 - 1 = -1 \) Portanto, a matriz resultante de \( A^t \cdot B \) é: \[ A^t \cdot B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 4 & 0 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \] Resumindo: a) \( A \cdot B \) não existe. b) \( A^t \cdot B \) existe e é igual a: \[ \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 4 & 0 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \]