Uma aplicação do produto vetorial se dá no cálculo da área do paralelogramo definido pelos vetores u e v. Descrição da imagem não disponível ​​​​...

Para encontrar a área do paralelogramo definido pelos pontos A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2), podemos utilizar o produto vetorial. Primeiro, vamos encontrar os vetores u e v que definem o paralelogramo. Podemos calcular esses vetores utilizando a diferença entre os pontos correspondentes: u = B - A = (3,1,0) - (1,1,0) = (2,0,0) v = C - A = (1,4,2) - (1,1,0) = (0,3,2) Agora, vamos calcular o produto vetorial entre u e v: u x v = (2,0,0) x (0,3,2) = (0*2 - 0*3, 0*2 - 2*0, 2*3 - 0*0) = (0,0,6) A área do paralelogramo é dada pelo módulo do vetor resultante do produto vetorial: Área = |u x v| = |(0,0,6)| = √(0^2 + 0^2 + 6^2) = √36 = 6 Portanto, a área do paralelogramo definido pelos pontos A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2) é igual a 6 unidades de área.

A área do paralelogramo definido por tais pontos é igual ao módulo do produto vetorial dos vetores AB e CD.

AB = (3 - 1, 1 - 1, 0 - 0) = (2, 0, 0)
CD = (3 - 1, 4 - 1, 2 - 0) = (2, 3, 2)
AB \times CD = (2 \times 2)i + (0 \times 3)j + (0 \times 2)k = 4i
|AB \times CD| = |4| = 4

Portanto, a área do paralelogramo é 4.

Outra maneira de encontrar a área do paralelogramo é utilizar a fórmula da área de um paralelogramo, que é dada por:

Área = base * altura

No caso deste problema, a base é a distância entre os pontos A e C, que é igual a 2, e a altura é a distância entre os planos coordenados XY e YZ, que é igual a 2. Portanto, a área do paralelogramo é:

Área = 2 * 2 = 4

Portanto, a resposta é 4.