Ache uma equação da reta tangente à curva y=x²-6x, que seja perpendicular à reta x-2y+6=0

Por definição, a derivada é a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado (x0,y0). Assim:

m1 = f'(x0) = 2x0 - 6.                   (1)

A inclinação da reta x - 2y + 6 = 0 é:

y = (x/2) + 3 ---> m2 = 1/2 (coeficiente de x).

Assim, a inclinação da reta procurada (m1) é igual a:

m1*m2 = -1 -----> m1 = 1/(m2) = -2.               (2)

De (1) e (2) temos:

-2 = 2x0 - 6 ---> x0 = 2.

Subst. x0 = 2 na equação da curva, podemos encontrar y0:

y0 = (2)^2 - 6*(2) = -8.

Logo, temos a inclinação da reta (m1 = -2) e o ponto (x0,y0) = (2, -8). Pela equação da reta, temos:

(y - y0) = m1*(x -x0)

y + 8 = -2*(x - 2)

y = -2x - 4.

Bons estudos!

 Inicialmente, apliquemos os conceitos da Geometria Analítica:

 Da Geometria Analítica, sabemos que o produto entre os coeficientes angulares de duas rectas perpendicular vale (- 1).

 Sejam r : y = ax + b a equação da recta a ser encontrada.

 O coeficiente angular da recta x - 2y + 6 = 0 é 1/2, veja:

x - 2y + 6 = 0

x + 6 = 2y

y = x/2 + 3

 Isto posto, podemos encontrar o coeficiente angular de r! Segue,

a . a' = - 1

a . 1/2 = - 1

a = - 2

 Recorrendo aos conceitos do Cálculo... Sabemos que a inclinação da recta r é dada calculando a derivada de y num ponto... Ou seja, y' = - 2.

y = x^2 - 6x

y' = 2x - 6

- 2 = 2x - 6

2x = 4

x = 2

 Para encontrar o valor da ordenada quando a abscissa vale 2, basta substituir x por 2 na equação y = x^2 - 6x.

 Daí,

y = (2)^2 - 6 . 2

y = 4 - 12

y = - 8

 Por fim,

f(x) = f'(x) . (x - p) + f(p)

f(x) = - 2 . (x - 2) + f(2)

f(x) = - 2(x - 2) - 8

f(x) = - 2x + 4 - 8

f(x) = - 2x - 4

 Logo, concluímos que r : y = - 2x - 4!!!