Calcule a integral de linha ∫ C (x − xy ) dx + ( − x 2+ y 2 ) dy , em que C é o triângulo formado pelos pontos ( 0, 0) , ( 1, 0) e ( 1, 1) . ...

Para calcular a integral de linha ∫C (x − xy) dx + (−x² + y²) dy, onde C é o triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (1,1), podemos seguir os seguintes passos: 1. Parametrizar o caminho de integração C: Podemos dividir o triângulo em duas partes: o segmento de reta de (0,0) a (1,0) e o segmento de reta de (1,0) a (1,1). Para o primeiro segmento, podemos parametrizar como r(t) = (t, 0), onde 0 ≤ t ≤ 1. Para o segundo segmento, podemos parametrizar como r(t) = (1, t), onde 0 ≤ t ≤ 1. 2. Calcular a integral ao longo de cada segmento: Para o primeiro segmento, temos: ∫(0,0)^(1,0) (x − xy) dx + (−x² + y²) dy = ∫0^1 (x − xy) dx + (−x² + 0²) dy = ∫0^1 x(1 − y) dx = [(1 − y)x²/2]_0^1 = (1 − y)/2 Para o segundo segmento, temos: ∫(1,0)^(1,1) (x − xy) dx + (−x² + y²) dy = ∫0^1 (1 − ty) dy + (−1² + t²) dt = [(y − ty²/2)]_0^1 + (−1 + t²) dt = (1/2 − t/2) + (−1 + t²) dt = t²/2 − t + 1/2 3. Somar as integrais de cada segmento: Assim, a integral de linha ∫C (x − xy) dx + (−x² + y²) dy é dada por: ∫C (x − xy) dx + (−x² + y²) dy = ∫(0,0)^(1,0) (x − xy) dx + (−x² + y²) dy + ∫(1,0)^(1,1) (x − xy) dx + (−x² + y²) dy = (1 − y)/2 + t²/2 − t + 1/2 = (3 − 2y + t² − 2t)/2 Portanto, a integral de linha ∫C (x − xy) dx + (−x² + y²) dy, onde C é o triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (1,1), é igual a (3 − 2y + t² − 2t)/2.