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Sobre as aplicações de funções e de derivadas, observe a situação a seguir: O preço de um produto fabricado e vendido por uma empresa pode ser re...

Sobre as aplicações de funções e de derivadas, observe a situação a seguir:


O preço de um produto fabricado e vendido por uma empresa pode ser representado pela função p(t) = t3-6.t2+9.t+10, em que p representa o preço do produto e t representa o mês das vendas do produto. Com base nas informações e na função dada, usando os conceitos de Derivada, Derivada primeira e Derivada segunda, determine o mês em que o preço do produto é mínimo e o mês em que o preço do produto é máximo. Determine também quais são os respectivos preços mínimos e máximos. 

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Para encontrar o mês em que o preço do produto é mínimo e o mês em que o preço do produto é máximo, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos encontrar a derivada da função p(t) e igualá-la a zero. p(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 10 p'(t) = 3t^2 - 12t + 9 Igualando a derivada a zero, temos: 3t^2 - 12t + 9 = 0 Dividindo toda a equação por 3, temos: t^2 - 4t + 3 = 0 Fatorando a equação, temos: (t - 1)(t - 3) = 0 Portanto, os pontos críticos da função são t = 1 e t = 3. Para determinar se esses pontos são mínimos ou máximos, precisamos encontrar a segunda derivada da função p(t). p''(t) = 6t - 12 Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos, temos: p''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 p''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 Portanto, o ponto crítico t = 1 é um máximo local e o ponto crítico t = 3 é um mínimo local. Para encontrar os preços mínimos e máximos, basta substituir os valores de t na função p(t). p(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 10 = 14 p(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 10 = 1 Portanto, o preço mínimo é R$ 1,00 e ocorre no terceiro mês, e o preço máximo é R$ 14,00 e ocorre no primeiro mês.

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Vitória Carolina

Para encontrar o mês em que o preço do produto é mínimo e máximo, e os respectivos valores desses extremos, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial e a análise da função fornecida.

A função que descreve o preço do produto é �(�)=�3−6�2+9�+10


p(t)=t3

−6t2

+9t+10.

1. Derivada primeira:

Para encontrar os extremos (mínimos e máximos) da função, precisamos encontrar sua derivada primeira e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos.

�′(�)=���(�3−6�2+9�+10)


p

(t)=dt


d

​(t3

−6t2

+9t+10)

�′(�)=3�2−12�+9


p

(t)=3t2

−12t+9

Agora, igualamos a derivada primeira a zero para encontrar os pontos críticos:

3�2−12�+9=0


3t2

−12t+9=0

�2−4�+3=0


t2

−4t+3=0

(�−1)(�−3)=0


(t−1)(t−3)=0

Os pontos críticos são �=1


t=1 e �=3


t=3.

2. Derivada segunda:

Para determinar se esses pontos críticos são mínimos ou máximos, usamos a derivada segunda e avaliamos o seu sinal nos pontos críticos.

�′′(�)=�2��2(�3−6�2+9�+10)


p′′

(t)=dt2


d2

​(t3

−6t2

+9t+10)

�′′(�)=���(3�2−12�+9)


p′′

(t)=dt


d

​(3t2

−12t+9)

�′′(�)=6�−12


p′′

(t)=6t−12

Avaliando a derivada segunda nos pontos críticos �=1


t=1 e �=3


t=3:

Para �=1


t=1:

�′′(1)=6×1−12=−6


p′′

(1)=6×1−12=−6

Para �=3


t=3:

�′′(3)=6×3−12=6


p′′

(3)=6×3−12=6

Análise dos resultados:

  • Para �=1

  • t=1, a derivada segunda é negativa (-6), indicando um ponto de máximo local.
  • Para �=3

  • t=3, a derivada segunda é positiva (6), indicando um ponto de mínimo local.

Portanto, o preço do produto é máximo no primeiro mês (t = 1) e é mínimo no terceiro mês (t = 3).

Agora, para encontrar os preços correspondentes a esses meses:

  • Para �=1

  • t=1:
  • �(1)=13−6×12+9×1+10=1−6+9+10=14

  • p(1)=13
  • −6×12
  • +9×1+10=1−6+9+10=14
  • O preço máximo é 14 unidades.
  • Para �=3

  • t=3:
  • �(3)=33−6×32+9×3+10=27−54+27+10=10

  • p(3)=33
  • −6×32
  • +9×3+10=27−54+27+10=10
  • O preço mínimo é 10 unidades.






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