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5) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. a)f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)). b)f(x, y...

5) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
a)f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
b)f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).
c)f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)).
d)f(x, y) = xex2−y2 em (2, 2, f(2, 2)).
e)f(x, y) = arctg(x− 2y) em (2, 12 , f(2, 12 )).
f)f(x, y) = xy em (1/2, 1/2, f(1/2, 1/2)).


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Ciência Política I Universidade Estácio de SáUniversidade Estácio de Sá

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a) Para encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função f(x, y) = 2x²y no ponto (1, 1, f(1, 1)), precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado: grad(f) = (df/dx, df/dy) = (4xy, 2x²) Substituindo o ponto (1, 1) na expressão do gradiente, temos: grad(f)(1, 1) = (4, 2) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente da função no ponto dado, ou seja, N = (4, 2, -f(1, 1)). Como f(1, 1) = 2(1)²(1) = 2, temos N = (4, 2, -2). O plano tangente é dado pela equação: 4(x - 1) + 2(y - 1) - 2(z - 2) = 0 Simplificando, temos: 4x + 2y - 2z = 6 A equação da reta normal é dada por: r(t) = (1, 1, 2) + t(4, 2, -2) Simplificando, temos: x = 1 + 4t y = 1 + 2t z = 2 - 2t b) Para encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função f(x, y) = x² + y² no ponto (0, 1, f(0, 1)), precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado: grad(f) = (df/dx, df/dy) = (2x, 2y) Substituindo o ponto (0, 1) na expressão do gradiente, temos: grad(f)(0, 1) = (0, 2) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente da função no ponto dado, ou seja, N = (0, 2, -f(0, 1)). Como f(0, 1) = (0)² + (1)² = 1, temos N = (0, 2, -1). O plano tangente é dado pela equação: 2(y - 1) - (z - 1) = 0 Simplificando, temos: 2y - z = 1 A equação da reta normal é dada por: r(t) = (0, 1, 1) + t(0, 2, -1) Simplificando, temos: y = 1 + 2t z = 1 - t c) Para encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função f(x, y) = 3x³y - xy no ponto (1, -1, f(1, -1)), precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado: grad(f) = (df/dx, df/dy) = (9x²y - y, 3x³ - x) Substituindo o ponto (1, -1) na expressão do gradiente, temos: grad(f)(1, -1) = (8, 2) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente da função no ponto dado, ou seja, N = (8, 2, -f(1, -1)). Como f(1, -1) = 3(1)³(-1) - (1)(-1) = -2, temos N = (8, 2, 2). O plano tangente é dado pela equação: 8(x - 1) + 2(y + 1) + 2(z + 2) = 0 Simplificando, temos: 8x + 2y + 2z = -14 A equação da reta normal é dada por: r(t) = (1, -1, -2) + t(8, 2, 2) Simplificando, temos: x = 1 + 8t y = -1 + 2t z = -2 + 2t d) Para encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função f(x, y) = xe^(x²-y²) no ponto (2, 2, f(2, 2)), precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado: grad(f) = (df/dx, df/dy) = (2xe^(x²-y²) + 2xye^(x²-y²), -2ye^(x²-y²) + 2xye^(x²-y²)) Substituindo o ponto (2, 2) na expressão do gradiente, temos: grad(f)(2, 2) = (8e^0 + 8e^0, -8e^0 + 8e^0) = (16, 0) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente da função no ponto dado, ou seja, N = (16, 0, -f(2, 2)). Como f(2, 2) = 2e^(2²-2²) = 2, temos N = (16, 0, -2). O plano tangente é dado pela equação: 16(x - 2) + 0(y - 2) - 2(z - 2) = 0 Simplificando, temos: 16x - 2z = 30 A equação da reta normal é dada por: r(t) = (2, 2, 2) + t(16, 0, 2) Simplificando, temos: x = 2 + 16t y = 2 z = 2 + 2t e) Para encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função f(x, y) = arctg(x-2y) no ponto (2, 12, f(2, 12)), precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado: grad(f) = (df/dx, df/dy) = (1/(1+(x-2y)²), -2/(1+(x-2y)²)) Substituindo o ponto (2, 12) na expressão do gradiente, temos: grad(f)(2, 12) = (1/25, -2/25) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente da função no ponto dado, ou seja, N = (1/25, -2/25, -f(2, 12)). Como f(2, 12) = arctg(2-2(12)) = arctg(-22), temos N = (1/25, -2/25, -arctg(-22)). O plano tangente é dado pela equação: 1/25(x - 2) - 2/25(y - 12) + arctg(22) = 0 A equação da reta normal é dada por: r(t) = (2, 12, arctg(-22)) + t(1/25, -2/25, -arctg(-22)) f) Para encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função f(x, y) = xy no ponto (1/2, 1/2, f(1/2, 1/2)), precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado: grad(f) = (df/dx, df/dy) = (y, x) Substituindo o ponto (1/2, 1/2) na expressão do gradiente, temos: grad(f)(1/2, 1/2) = (1/2, 1/2) O vetor normal ao plano tangente é dado pelo gradiente da função no ponto dado, ou seja, N = (1/2, 1/2, -f(1/2, 1/2)). Como f(1/2, 1/2) = (1/2)(1/2) = 1/4, temos N = (1/2, 1/2, -1/4). O plano tangente é dado pela equação: 1/2(x - 1/2) + 1/2(y - 1/2) + 1/4(z - 1/4) = 0 Simplificando, temos: x + y - 2z = 1 A equação da reta normal é dada por: r(t) = (1/2, 1/2, 1/4) + t(1/2, 1/2, 1/4)

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