Para resolver a equação diferencial dada, que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis, podemos usar o método de Frobenius ou tentar encontrar uma solução particular. A equação é: \[ 2x^2y'' + 6xy' + 2y = 0 \] Essa é uma equação de Cauchy-Euler, que geralmente tem soluções da forma \( y = x^m \). No entanto, as alternativas apresentadas sugerem que a solução pode incluir termos logarítmicos ou exponenciais. Vamos analisar as alternativas: 1. y = ax + bx ln x: Essa forma é típica para equações de Cauchy-Euler, onde o logaritmo pode aparecer devido à multiplicidade das raízes. 2. y = ax + b: Essa forma é muito simples e não parece se encaixar na estrutura da equação. 3. y = 2ax - 1/x ln x: Essa forma é complexa e não parece se encaixar na solução típica. 4. y = a ln(x^2) + bx: Essa forma também é possível, mas não é a mais comum para essa equação. 5. y = ae^x + bxe^x: Essa forma sugere uma solução exponencial, que não é típica para equações de Cauchy-Euler. Dado que a equação é uma Cauchy-Euler e considerando a presença de logaritmos, a alternativa mais adequada é: y = ax + bx ln x, onde a e b são reais. Portanto, a resposta correta é a primeira alternativa.