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Sobre as aplicações de funções e de derivadas, observe a situação a seguir: O preço de um produto fabricado e vendido por uma empresa pode ser repr...

Sobre as aplicações de funções e de derivadas, observe a situação a seguir: O preço de um produto fabricado e vendido por uma empresa pode ser representado pela função p(t) = t3-6.t2+9.t+10, em que p representa o preço do produto e t representa o mês das vendas do produto. Com base nas informações e na função dada, usando os conceitos de Derivada, Derivada primeira e Derivada segunda, determine o mês em que o preço do produto é mínimo e o mês em que o preço do produto é máximo. Determine também quais são os respectivos preços mínimos e máximos.


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Para encontrar o mês em que o preço do produto é mínimo e o mês em que o preço do produto é máximo, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos encontrar a derivada da função p(t) e igualá-la a zero. p(t) = t³ - 6t² + 9t + 10 p'(t) = 3t² - 12t + 9 Igualando a derivada a zero, temos: 3t² - 12t + 9 = 0 Dividindo toda a equação por 3, temos: t² - 4t + 3 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: t1 = 1 e t2 = 3 Agora, precisamos verificar se esses pontos são de mínimo ou máximo. Para isso, podemos usar a segunda derivada da função. p''(t) = 6t - 12 Substituindo t1 = 1 e t2 = 3, temos: p''(1) = -6 < 0 (ponto de máximo) p''(3) = 6 > 0 (ponto de mínimo) Portanto, o preço do produto é máximo no primeiro mês (t = 1) e mínimo no terceiro mês (t = 3). Os respectivos preços máximos e mínimos são: Preço máximo: p(1) = 14 Preço mínimo: p(3) = 4

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