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Sobre as aplicações de funções e de derivadas, observe a situação a seguir: O preço de um produto fabricado e vendido por uma empresa pode ser rep...

Sobre as aplicações de funções e de derivadas, observe a situação a seguir:

O preço de um produto fabricado e vendido por uma empresa pode ser representado pela função p(t) = t3-6.t2+9.t+10, em que p representa o preço do produto e t representa o mês das vendas do produto. Com base nas informações e na função dada, usando os conceitos de Derivada, Derivada primeira e Derivada segunda, determine o mês em que o preço do produto é mínimo e o mês em que o preço do produto é máximo. Determine também quais são os respectivos preços mínimos e máximos.


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Para encontrar o mês em que o preço do produto é mínimo, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto de mínimo da função p(t). Para isso, devemos calcular a derivada primeira da função p(t) e igualá-la a zero: p'(t) = 3t² - 12t + 9 3t² - 12t + 9 = 0 t² - 4t + 3 = 0 (t - 1)(t - 3) = 0 Portanto, os valores de t que correspondem aos pontos de mínimo da função p(t) são t = 1 e t = 3. Para determinar qual desses valores é o mínimo absoluto, devemos calcular a derivada segunda da função p(t) e avaliá-la em cada um dos pontos: p''(t) = 6t - 12 p''(1) = -6 < 0 p''(3) = 6 > 0 Assim, concluímos que o ponto de mínimo absoluto da função p(t) ocorre em t = 3, onde o preço mínimo é p(3) = 10. Para encontrar o mês em que o preço do produto é máximo, podemos seguir o mesmo raciocínio. A derivada primeira da função p(t) deve ser igualada a zero: p'(t) = 3t² - 12t + 9 3t² - 12t + 9 = 0 t² - 4t + 3 = 0 (t - 1)(t - 3) = 0 Portanto, os valores de t que correspondem aos pontos de máximo da função p(t) são t = 1 e t = 3. Para determinar qual desses valores é o máximo absoluto, devemos calcular a derivada segunda da função p(t) e avaliá-la em cada um dos pontos: p''(t) = 6t - 12 p''(1) = -6 < 0 p''(3) = 6 > 0 Assim, concluímos que o ponto de máximo absoluto da função p(t) ocorre em t = 1, onde o preço máximo é p(1) = 14.

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