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Seja o sólido tridimensional limitado superiormente pelo paraboloide ao longo do eixo z de equação: z = 9 - x² - y² e inferiormente pelo plano xy,...

Seja o sólido tridimensional limitado superiormente pelo paraboloide ao longo do eixo z de equação:

z = 9 - x² - y²
e inferiormente pelo plano xy, de equação z = 0.

Qual é o volume do sólido apresentado?


a) 9/2.
b) 4π.
c) 8π.
d) 81π/4.
e) 81π/2.

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Cálculo I Universidade PaulistaUniversidade Paulista

💡 1 Resposta

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Para encontrar o volume do sólido, podemos utilizar a integral tripla em coordenadas cartesianas. A integral tripla do sólido é dada por: V = ∫∫∫ dV Onde dV é o elemento de volume e a integral é realizada sobre todo o sólido. Podemos escrever dV como: dV = dz dA Onde dA é o elemento de área na base do sólido. Como o sólido é limitado inferiormente pelo plano xy, podemos escrever dA como: dA = dx dy Assim, temos: V = ∫∫∫ dz dA V = ∫∫∫ (9 - x² - y²) dx dy dz O sólido é simétrico em relação ao plano xy, então podemos calcular o volume apenas para metade do sólido e multiplicar por 2. Além disso, podemos utilizar coordenadas cilíndricas para simplificar a integral. As equações de conversão são: x = r cosθ y = r senθ z = z O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por: dV = r dz dr dθ Substituindo as equações de conversão e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas na integral, temos: V = 2 ∫ de 0 até π/2 ∫ de 0 até 3 ∫ de 0 até √(9 - r² cos²θ - r² sen²θ) r dz dr dθ V = 2 ∫ de 0 até π/2 ∫ de 0 até 3 ∫ de 0 até √(9 - r²) r dz dr dθ Integrando em relação a z, temos: V = 2 ∫ de 0 até π/2 ∫ de 0 até 3 (9r - r³/3) dr dθ V = 2 ∫ de 0 até π/2 (81/2 - 27/4) dθ V = 2 ∫ de 0 até π/2 (99/4) dθ V = 99π/4 Portanto, o volume do sólido é 99π/4, que corresponde à alternativa d).

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