5. (1 ponto) Prove que a função f : R − {4} → R − {2} dada por 2x− 5 x− 4 possui inversa e calcule-a. Não esqueça de colocar o domı́nio e o co...

Para provar que a função f(x) = (2x-5)/(x-4) possui inversa, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora. Para mostrar que é injetora, suponha que f(a) = f(b), onde a e b pertencem ao domínio de f. Então, temos: (2a-5)/(a-4) = (2b-5)/(b-4) 2a(b-4) - 5(b-4) = 2b(a-4) - 5(a-4) 2ab - 8a - 5b + 20 = 2ab - 8b - 5a + 20 -5a + 5b = -5b + 5a a = b Portanto, f é injetora. Para mostrar que é sobrejetora, precisamos mostrar que para todo y pertencente ao contradomínio de f, existe um x pertencente ao domínio de f tal que f(x) = y. Se y = 2, não existe x tal que f(x) = y, pois o denominador da função seria igual a zero, o que não é permitido. Portanto, o contradomínio da função é R - {2}. Agora, podemos calcular a função inversa de f. Para isso, trocamos x por y e y por x na equação de f e resolvemos para y: y = (2x-5)/(x-4) yx - 4y = 2x - 5 yx - 2x = 4y - 5 x(y-2) = 4y - 5 x = (4y-5)/(y-2) Portanto, a função inversa de f é g(y) = (4y-5)/(y-2). O domínio de g é R - {2} e o contradomínio é R - {4}. Espero ter ajudado!