Dada a função f(x) = 2x³ - 3x², determine: a) O domínio da função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso existam. b) O(s) intervalo(s) ...

a) O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função é definida. Neste caso, a função é definida para todos os valores de x, portanto, o domínio é o conjunto dos números reais, ou seja, D(f) = R. b) Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, é necessário encontrar os pontos críticos, que são os valores de x onde a função pode mudar de direção. Para isso, devemos calcular a primeira derivada da função: f'(x) = 6x² - 6x Igualando a derivada a zero, temos: 6x² - 6x = 0 6x(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1 Agora, podemos construir a seguinte tabela: | x | 0 | 1 | |-------|------|------| | f'(x) | 0 | 0 | | f(x) | 0 | -1 | Assim, temos que a função é crescente no intervalo (-∞, 0) e decrescente no intervalo (0, 1) e (1, +∞). c) Para encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos, devemos calcular a segunda derivada da função: f''(x) = 12x - 6 Agora, podemos construir a seguinte tabela: | x | 0 | 1 | |-------|------|------| | f''(x)| -6 | 6 | | f(x) | 0 | -1 | Assim, temos que a função tem um ponto de mínimo relativo em x = 1. d) Para determinar os intervalos de concavidade, devemos analisar o sinal da segunda derivada. Como f''(x) > 0 para x > 1 e f''(x) < 0 para x < 1, temos que a função tem concavidade voltada para baixo no intervalo (-∞, 1) e concavidade voltada para cima no intervalo (1, +∞). e) Para encontrar os pontos de inflexão, devemos igualar a segunda derivada a zero: f''(x) = 0 12x - 6 = 0 x = 1/2 Agora, podemos construir a seguinte tabela: | x | 1/2 | |-------|------| | f(x) | -1/4 | Assim, temos que a função tem um ponto de inflexão em x = 1/2. f) Para encontrar os limites da função para x → +∞ e x → -∞, devemos observar que a função é dominada pelo termo de maior grau, que é 2x³. Portanto, temos: lim f(x) = lim 2x³ = +∞ x→+∞ x→+∞ lim f(x) = lim 2x³ = -∞ x→-∞ x→-∞ g) O esboço do gráfico da função é dado abaixo: