3. Mostre que a equação (x^2 − xy + y^2)dx+ x^2dy = 0 é homogênea e determine sua solução. Mostre que a equação (x^2 − xy + y^2)dx+ x^2dy = 0 é ho...

Para mostrar que a equação é homogênea, é necessário verificar se ela satisfaz a condição de homogeneidade, que é: M(tx,ty) = t^n * M(x,y) N(tx,ty) = t^n * N(x,y) Onde M e N são funções de x e y, e n é um número inteiro. No caso da equação (x^2 − xy + y^2)dx+ x^2dy = 0, temos: M(x,y) = x^2 − xy + y^2 N(x,y) = x^2 Agora, vamos verificar se a condição de homogeneidade é satisfeita: M(tx,ty) = (tx)^2 − (tx)(ty) + (ty)^2 = t^2(x^2 − xy + y^2) = t^2M(x,y) N(tx,ty) = (tx)^2 = t^2x^2 = t^2N(x,y) Portanto, a equação é homogênea de grau 2. Para determinar sua solução, podemos usar o fato de que uma equação homogênea pode ser escrita na forma: dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) Substituindo os valores de M e N, temos: dy/dx = -(x^2 − xy + y^2)/x^2 Podemos reescrever a equação como: dy/dx = -1 + y/x - (y/x)^2 Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que pode ser resolvida usando técnicas de separação de variáveis ou fator integrante. A solução geral é: y = Cx/(Cx + 1) Onde C é uma constante arbitrária.