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Determine e classifique os pontos críticos da função f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1.

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derivadas parciais
4 pág.

Cálculo II Centro Universitário do Planalto de AraxáCentro Universitário do Planalto de Araxá

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Para determinar os pontos críticos da função f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Assim, temos: fx = 4x^3 - 4y = 0 fy = 4y^3 - 4x = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos os pontos críticos: x = y = 1 x = y = -1 x = 0, y = 0 Para classificar os pontos críticos, podemos utilizar o teste da segunda derivada. Calculando as segundas derivadas parciais, temos: fxx = 12x^2 fxy = -4 fyx = -4 fyy = 12y^2 A matriz hessiana é dada por: H = |fxx fxy| |fyx fyy| No ponto (1,1), temos H = |12 -4| |-4 12| Calculando o determinante, temos det(H) = 128 > 0 e fxx > 0, portanto, o ponto (1,1) é um mínimo local. No ponto (-1,-1), temos H = |12 -4| |-4 12| Calculando o determinante, temos det(H) = 128 > 0 e fxx > 0, portanto, o ponto (-1,-1) é um mínimo local. No ponto (0,0), temos H = |0 -4| |-4 0| Calculando o determinante, temos det(H) = -16 < 0, portanto, o ponto (0,0) é um ponto de sela. Assim, os pontos críticos da função f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1 são: (1,1), (-1,-1) e (0,0), sendo que (1,1) e (-1,-1) são mínimos locais e (0,0) é um ponto de sela.

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