(IME 2001) Determine todos os números inteiros m e n tais que o polinômio 3 32 m n m n mx a x a−+ − é divisível por x a+ . Determine todos os n...

Para que o polinômio 3 32 m n m n mx a x a−+ − seja divisível por x a+ , é necessário que ele seja da forma x a (x-a)Q(x), onde Q(x) é um polinômio qualquer. Assim, temos que: 3m + 3n = 0 (coeficiente de x^a) -3am - 3an + 3m + 3n = 0 (coeficiente de x^(a-1)) Simplificando a segunda equação, temos: -3a(m+n) + 3(m+n) = 0 (m+n)(3-3a) = 0 Portanto, m+n = 0 ou a = 1. Se m+n = 0, temos que m = -n. Substituindo na primeira equação, temos: 3m - 3n = 0 m = n Assim, m = n e a pode ser qualquer número inteiro. Se a = 1, temos que: 3m + 3n = 0 -3m - 3n + 3m + 3n = 0 Nesse caso, m e n podem ser quaisquer números inteiros. Portanto, as soluções são: - m = n e a pode ser qualquer número inteiro; - m e n podem ser quaisquer números inteiros e a = 1.