Sobre o limite abaixo lim(x,y)→(0,0)2x2+3xy+4y23x2+5y2lim(x,y)→(0,0)⁡2x2+3xy+4y23x2+5y2, Assinale a alternativa correta: a. O limite existe e val...

Para resolver esse limite, podemos usar o Teorema de D'Alembert. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y. Temos: fx = lim(h→0) [f(0+h,0) - f(0,0)]/h = lim(h→0) [2h]/h = 2 fy = lim(k→0) [f(0,0+k) - f(0,0)]/k = lim(k→0) [4k^2]/k^2 = 4 Agora, podemos calcular o limite usando o Teorema de D'Alembert: lim(x,y)→(0,0) f(x,y) = lim(x,y)→(0,0) [2x^2 + 3xy + 4y^2]/[3x^2 + 5y^2] = lim(r→0) [2r^2cos^2θ + 3r^2cosθsinθ + 4r^2sin^2θ]/[3r^2cos^2θ + 5r^2sin^2θ], onde x = rcosθ e y = rsinθ = lim(r→0) [2cos^2θ + 3cosθsinθ + 4sin^2θ]/[3cos^2θ + 5sin^2θ] Agora, podemos usar o fato de que cos^2θ + sin^2θ = 1 para simplificar a expressão: = lim(r→0) [2 - cosθsinθ]/[3 - 2sin^2θ] Observe que o denominador tende a 3 à medida que r tende a 0. Já o numerador depende do valor de θ. Se θ = 0, então o numerador é 2. Se θ = π/2, então o numerador é 0. Como o limite depende do valor de θ, concluímos que ele não existe. Portanto, a alternativa correta é a letra E: "O limite não existe, pois lim(x→0)f(x,0)≠lim(y→0)f(0,y)".