6.3-3 – Um sinal periódico ????(????) é descrito pela seguinte série de Fourier: ????(????) = 3 cos(????) + ???????????? (5???? − ????/6) − 2 cos (8???? − ????/3) a) Tra...

A série de Fourier do sinal periódico x(t) é dada por: x(t) = 3cos(t) + a1cos(5t - pi/6) + a2cos(8t - pi/3) a) O espectro de amplitude e fase para a série trigonométrica pode ser traçado a partir dos coeficientes a1 e a2. A amplitude é dada por |an| = sqrt(a1^2 + a2^2) e a fase é dada por phi = atan(a2/a1). Portanto, o espectro de amplitude e fase é: |a0| = 3 |a1| = sqrt(5^2 + (-1/2)^2) = sqrt(25 + 1/4) = 5.012 |a2| = 2 phi0 = 0 phi1 = atan(-1/2/5) = -0.0997 rad phi2 = 0 b) A série exponencial de Fourier pode ser escrita a partir dos coeficientes a0, an e bn, que são dados por: a0 = (1/T) * integral de x(t) dt de -T/2 a T/2 an = (2/T) * integral de x(t) * cos(nwt) dt de -T/2 a T/2 bn = (2/T) * integral de x(t) * sen(nwt) dt de -T/2 a T/2 onde T é o período do sinal e w é a frequência angular. A partir dos coeficientes a1 e a2, podemos calcular os coeficientes an e bn: an = (2/T) * integral de x(t) * cos(nwt) dt de -T/2 a T/2 = 2a1*cos(5nw - pi/6) + 2a2*cos(8nw - pi/3) bn = (2/T) * integral de x(t) * sen(nwt) dt de -T/2 a T/2 = 2a1*sen(5nw - pi/6) + 2a2*sen(8nw - pi/3) c) A partir do espectro da série exponencial de Fourier, podemos escrever a série exponencial de Fourier de x(t): x(t) = a0/2 + somatório de n=1 a infinito de [an*cos(nwt) + bn*sen(nwt)] Substituindo os valores de a0, an e bn, temos: x(t) = 3/2 + 5.012*cos(5t - 0.0997) + 4*cos(8t - pi/3)