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Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no fo...

Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão é igual a

A taça em formato de semiesfera tem volume igual à taça em formato de cone reto.
A taça em formato de semiesfera tem volume igual à taça em formato de cilindro reto.
A taça em formato de cone reto tem volume igual à taça em formato de cilindro reto.
a) I e II estão corretas.
b) I e III estão corretas.
c) II e III estão corretas.
d) Apenas a afirmativa I está correta.
e) Todas as afirmativas estão corretas.

Essa pergunta também está no material:

4.3. MATEMÁTICA   EXERCÍCIOS PROPOSTOS   VOLUME 4
48 pág.

Matemática Básica Universidade Federal da BahiaUniversidade Federal da Bahia

💡 1 Resposta

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Para resolver esse problema, precisamos igualar os volumes das três taças. Sabemos que o volume de uma semiesfera é (2/3)πr³, o volume de um cone é (1/3)πr²h e o volume de um cilindro é πx²h. Como as três taças têm o mesmo volume, podemos igualar as expressões e resolver para x em termos de r e h: (2/3)πr³ = (1/3)πr²h + πx²h 2r³ = r²h + 3x²h 2r³ = h(r² + 3x²) x² = (2r³ - hr²) / (3h) Agora podemos substituir x² na expressão do volume do cilindro e simplificar: Vc = πx²h Vc = π[(2r³ - hr²) / (3h)]²h Vc = π(4r⁶ - 4hr⁴ + h²r⁴) / (9h²) Vc = (4/9)πr⁴ - (4/9)πhr² + (1/9)πh³r⁴ Podemos fazer o mesmo para o volume da taça em formato de cone: Vco = (1/3)πr²h Vco = (1/3)πr²[(2r³ - hr²) / (3h)] Vco = (2/9)πr⁴ - (1/3)πhr² E para a taça em formato de semiesfera: Vse = (2/3)πr³ Agora podemos comparar as expressões para Vse, Vco e Vc: Vse = Vco (2/3)πr³ = (2/9)πr⁴ - (1/3)πhr² 4r³ = 2r⁴ - 3hr² 2r⁴ - 4r³ + 3hr² = 0 2r³(r - 2) + 3hr² = 0 r = (3h/2)^(1/3) Vse = Vc (2/3)πr³ = (4/9)πr⁴ - (4/9)πhr² + (1/9)πh³r⁴ 2r³ = 4r⁴ - 4hr² + (1/3)h³r⁴ 6r³ = 12r⁴ - 12hr² + h³r⁴ 12r⁴ - (6r³ + 12hr²) + h³r⁴ = 0 2r³(6r - h) + h³r⁴ = 0 r = (h/6)^(1/3) Vco = Vc (1/3)πr²h = (4/9)πr⁴ - (4/9)πhr² + (1/9)πh³r⁴ 3r²h = 4r⁴ - 4hr² + (1/3)h³r⁴ 9r²h = 12r⁴ - 12hr² + h³r⁴ 12r⁴ - (9r²h + 12hr²) + h³r⁴ = 0 3r²(4r² - 3h) + h³r⁴ = 0 r = (h/4)^(1/3) Portanto, a alternativa correta é a letra c) II e III estão corretas.

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