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Mostre, usando conceitos de derivadas ou integrais, que 2 2sin( ) cos( ) 1x x+ = .

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Para mostrar que 2 2sin( ) cos( ) 1x x+ = , podemos usar a regra do produto da derivada. Começamos derivando a expressão do lado esquerdo da igualdade: d/dx [2sin(x)cos(x+1)] = 2cos(x)cos(x+1) - 2sin(x)sin(x+1) Em seguida, simplificamos a expressão usando a identidade trigonométrica cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b): 2cos(x)cos(x+1) - 2sin(x)sin(x+1) = 2cos(x)cos(x)cos(1) + 2sin(x)sin(x)cos(1) - 2sin(x)cos(x)sin(1) Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sin(2x) = 2sin(x)cos(x) para simplificar ainda mais: 2cos(x)cos(x)cos(1) + 2sin(x)sin(x)cos(1) - 2sin(x)cos(x)sin(1) = 2cos^2(x)cos(1) + 2sin^2(x)cos(1) - 2sin(x)cos(x)sin(1) Finalmente, podemos usar a identidade trigonométrica cos^2(x) + sin^2(x) = 1 para obter: 2cos^2(x)cos(1) + 2sin^2(x)cos(1) - 2sin(x)cos(x)sin(1) = 2cos(1) - 2sin(x)cos(x)sin(1) Agora, podemos simplificar a expressão do lado direito da igualdade usando a identidade trigonométrica sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b): 2cos(1) - 2sin(x)cos(x)sin(1) = 2cos(1) - sin(2x+1) Portanto, temos que: d/dx [2sin(x)cos(x+1)] = 2cos(1) - sin(2x+1) Como a derivada de uma constante é zero, podemos integrar ambos os lados da equação para obter: 2sin(x)cos(x+1) = 2xcos(1) - (1/2)cos(2x+1) + C Onde C é a constante de integração. Portanto, mostramos que 2 2sin( ) cos( ) 1x x+ = .

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