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Considere o problema das filas no Restaurante Universitário (bandejão). Suponha que o número de alunos, em função do tempo, que estão em suas salas...

Considere o problema das filas no Restaurante Universitário (bandejão). Suponha que o número de alunos, em função do tempo, que estão em suas salas de aula, laboratórios, bibliotecas, ruas, casa, etc, seja dado pela função: N(t) = N0e^(t−t0)/w +1. Onde: N0 = 7500 alunos que almoçam no bandejão; t0 = 12h (meio dia - hora do almoço); w = 0,4h (metade do tempo que leva para boa parte dos alunos deixarem as salas); Suponha que se os alunos não estão nesses lugares eles estão no bandejão (ou na fila do bandejão). Esta função não conta as pessoas que voltaram para suas salas, casa, biblioteca, etc, após o almoço. Suponha ainda que o bandejão é capaz de atender a uma taxa constante de R=2600 alunos por hora. a) Calcule a taxa T(t) de chegada de alunos para almoçar no bandejão; b) Ache o momento em que a fila começa a se formar; c) Ache o momento em que a fila é máxima; d) Calcule o comprimento máximo que a fila atinge, sabendo que ela é composta por 8 alunos por metro;
a) Calcule a taxa T(t) de chegada de alunos para almoçar no bandejão;
b) Ache o momento em que a fila começa a se formar;
c) Ache o momento em que a fila é máxima;
d) Calcule o comprimento máximo que a fila atinge, sabendo que ela é composta por 8 alunos por metro;

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fisica 1
3 pág.

Funções Faculdade de SergipeFaculdade de Sergipe

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a) A taxa T(t) de chegada de alunos para almoçar no bandejão é dada pela derivada da função N(t) em relação ao tempo t. Assim, temos: T(t) = dN(t)/dt = (N0/w)e^(t-t0)/w Substituindo os valores de N0 e w, temos: T(t) = 18750e^(t-12)/0,4 b) A fila começa a se formar quando o número de alunos que chegam para almoçar no bandejão é maior do que a capacidade de atendimento do bandejão. Assim, temos: T(t) > R Substituindo os valores de T(t) e R, temos: 18750e^(t-12)/0,4 > 2600 Simplificando, temos: e^(t-12) > 0,1387 Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos: t-12 > ln(0,1387) t > ln(0,1387) + 12 t > 11,08 Portanto, a fila começa a se formar às 11h09min. c) A fila é máxima quando a taxa de chegada de alunos para almoçar no bandejão é igual à capacidade de atendimento do bandejão. Assim, temos: T(t) = R Substituindo os valores de T(t) e R, temos: 18750e^(t-12)/0,4 = 2600 Simplificando, temos: e^(t-12) = 0,1387 Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos: t-12 = ln(0,1387) t = ln(0,1387) + 12 t = 11,08 Portanto, a fila é máxima às 11h09min. d) O comprimento máximo que a fila atinge é dado pelo produto entre o número máximo de alunos na fila e o espaço ocupado por cada aluno. Assim, temos: Número máximo de alunos na fila: Para calcular o número máximo de alunos na fila, precisamos saber o tempo que a fila leva para atingir o seu comprimento máximo. Esse tempo é dado pelo momento em que a taxa de chegada de alunos para almoçar no bandejão é igual à capacidade de atendimento do bandejão, ou seja, às 11h09min. Assim, temos: N(11h09min) = N0e^(t-t0)/w + 1 = 18750e^(11,08-12)/0,4 + 1 = 1001 alunos Espaço ocupado por cada aluno: Cada aluno ocupa 1/8 de metro. Assim, temos: Espaço ocupado por cada aluno = 1/8 m Comprimento máximo da fila: Comprimento máximo da fila = Número máximo de alunos na fila x Espaço ocupado por cada aluno Comprimento máximo da fila = 1001 x 1/8 Comprimento máximo da fila = 125,125 m Portanto, o comprimento máximo que a fila atinge é de 125,125 metros.

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