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Seja Q(x) = x4 + x3 + 4x2 − x − 5. Fatorando Q(x), tem-se: Q(x) é um polinômio de grau 4. Q(x) possui duas raízes reais. Q(x) não possui raízes ra...

Seja Q(x) = x4 + x3 + 4x2 − x − 5. Fatorando Q(x), tem-se:

Q(x) é um polinômio de grau 4.
Q(x) possui duas raízes reais.
Q(x) não possui raízes racionais.
a) I e II estão corretas.
b) II e III estão corretas.
c) I e III estão corretas.
d) Todas as afirmativas estão corretas.
e) Nenhuma das afirmativas está correta.

Essa pergunta também está no material:

CÁLCULO- VOLUME I - IME - Unicamp
452 pág.

Didática Universidade Estadual do CearáUniversidade Estadual do Ceará

💡 1 Resposta

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A alternativa correta é a letra c) I e III estão corretas. Explicação: Para fatorar o polinômio Q(x), podemos utilizar o Teorema de D'Alembert, que consiste em testar as possíveis raízes racionais do polinômio. As possíveis raízes racionais são obtidas pela divisão dos divisores do termo independente pelo coeficiente do termo de maior grau. No caso de Q(x), os divisores de -5 são ±1 e ±5, e o coeficiente do termo de maior grau é 1. Portanto, as possíveis raízes racionais são ±1, ±5. Testando as possíveis raízes racionais em Q(x), podemos verificar que nenhuma delas é raiz do polinômio. Portanto, Q(x) não possui raízes racionais. Para verificar o número de raízes reais de Q(x), podemos utilizar o critério de Descartes. Esse critério estabelece que o número de raízes reais de um polinômio é igual ao número de mudanças de sinal entre os coeficientes do polinômio ou é igual a esse número menos um. No caso de Q(x), há uma mudança de sinal entre os coeficientes, entre o termo x2 e o termo -x. Portanto, Q(x) possui uma ou três raízes reais. Assim, podemos concluir que as afirmativas I e III estão corretas.

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