Considere a cônica C : 4x2 − 9y2 − 16x + 36y − 56 = 0 para responder às questões 4, 5 e 6: Questão 4 [1,0 pt] Classifique a cônica C. Questa...
Questão 4 [1,0 pt] Classifique a cônica C.
Questão 5 [1,5 pt] Determine os principais elementos da cônica C, ou seja, centro, vértices focais, vértices não-focais, focos, reta focal, reta não focal, asśıntotas e diretriz, caso existam.
Questão 6 [1,5 pt] Faça um esboço da cônica C contendo todos os elementos da cônica. O esboço deve ser feito em um sistema de coordenação cartesianas e preferencialmente com régua para que seja utilizada uma unidade de medida correta.
Classifique a cônica C.
Determine os principais elementos da cônica C, ou seja, centro, vértices focais, vértices não-focais, focos, reta focal, reta não focal, asśıntotas e diretriz, caso existam.
Faça um esboço da cônica C contendo todos os elementos da cônica. O esboço deve ser feito em um sistema de coordenação cartesianas e preferencialmente com régua para que seja utilizada uma unidade de medida correta.
Completando os quadrados da equação de C, obtemos: 4x2 − 9y2 − 16x + 36y − 56 = 0 ⇐⇒ 4(x2 − 4x + 4) − 9(y2 − 4y + 4) = 56 + 16 − 36 ⇐⇒ 4(x − 2)2 − 9(y − 2)2 = 36 ⇐⇒ (x − 2)29 − (y − 2)24 = 1. Sendo assim, a cônica C é uma hipérbole.
A hipérbole C possui os seguintes elementos principais: a = 3, b = 2 e c = √13; centro: C = (2, 2); reta focal: y = 2; reta não-focal: x = 2; vértices focais: (2 ± 3, 2) ⇐⇒ A1 = (−1, 2) e A2 = (5, 2); vértices não-focais: (2, 2 ± 2) ⇐⇒ B1 = (2, 0) e B2 = (2, 4); focos: (2 ± √13, 2) ⇐⇒ F1 = (2 − √13, 2) e F2 = (2 + √13, 2); asśıntotas: −2x + 3y = 2 e 2x + 3y = 10
Os elementos acima podem ser encontrados na figura a seguir:
💡 1 Resposta
Ed 
Questão 4: A cônica C é uma hipérbole. Questão 5: - Centro: C = (2, 2) - Semi-eixo maior: a = 3 - Semi-eixo menor: b = 2 - Distância focal: c = √13 - Focos: F1 = (2 - √13, 2) e F2 = (2 + √13, 2) - Vértices focais: A1 = (-1, 2) e A2 = (5, 2) - Vértices não-focais: B1 = (2, 0) e B2 = (2, 4) - Reta focal: y = 2 - Reta não-focal: x = 2 - Assíntotas: -2x + 3y = 2 e 2x + 3y = 10 Questão 6: O esboço da cônica C pode ser feito em um sistema de coordenadas cartesianas, com o centro da hipérbole localizado no ponto (2, 2). Os vértices focais A1 e A2 devem ser marcados nos pontos (-1, 2) e (5, 2), respectivamente. Os vértices não-focais B1 e B2 devem ser marcados nos pontos (2, 0) e (2, 4), respectivamente. Os focos F1 e F2 devem ser marcados nos pontos (2 - √13, 2) e (2 + √13, 2), respectivamente. A reta focal y = 2 e a reta não-focal x = 2 também devem ser desenhadas. As assíntotas devem ser traçadas de acordo com as equações -2x + 3y = 2 e 2x + 3y = 10.
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