Sendo a e b reais tais que 0 < a ≤ 1 e 0 < b ≤ 1, o maior valor que ab/(a+b) pode assumir é: a) 0 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 1

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há 2 anos

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há 2 anos

Respostas

há 6 meses

Para encontrar o maior valor que a expressão \( \frac{ab}{a+b} \) pode assumir, onde \( 0 < a \leq 1 \) e \( 0 < b \leq 1 \), podemos usar a desigualdade de AM-GM (Média Aritmética - Média Geométrica). A média aritmética de \( a \) e \( b \) é sempre maior ou igual à média geométrica, ou seja: \[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \] Isso implica que: \[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \] Portanto, podemos reescrever a expressão: \[ \frac{ab}{a+b} \leq \frac{ab}{2\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}}{2} \] Agora, para maximizar \( ab \), podemos considerar \( a = b \). Se \( a = b = x \), onde \( 0 < x \leq 1 \), temos: \[ \frac{x^2}{2x} = \frac{x}{2} \] O valor máximo de \( \frac{x}{2} \) ocorre quando \( x = 1 \), resultando em: \[ \frac{1}{2} \] Assim, o maior valor que \( \frac{ab}{a+b} \) pode assumir é \( \frac{1}{2} \). Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{1}{2} \).

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há 2 anos

Para encontrar o maior valor que ab/(a+b) pode assumir, podemos utilizar a desigualdade AM-GM. Temos que: ab/(a+b) = (a+b- (a+b))ab/(a+b) = (a+b) - (a+b)/(a+b) = (a+b) - 1 Pela desigualdade AM-GM, temos que: (a+b)/2 ≥ √ab (a+b) ≥ 2√ab (a+b) - 1 ≥ 2√ab - 1 (a+b) - 1 ≥ 2(√ab - 1/2) (a+b) - 1 ≥ 2(√(a/2)√(b/2) - 1/2) (a+b) - 1 ≥ 2(√(a/2)√(b/2) - √(1/4)) (a+b) - 1 ≥ 2√(ab)/√2 - √(1)/√2 (a+b) - 1 ≥ 2√(ab)/√2 - 1/√2 (a+b) - 1 ≥ (2/√2)√(ab) - 1/√2 (a+b) - 1 ≥ (√2 - 1)√(ab) ab/(a+b) ≤ (a+b-1)/(√2 - 1) Para que ab/(a+b) seja máximo, (a+b-1)/(√2 - 1) deve ser máximo. Derivando (a+b-1)/(√2 - 1) em relação a a, temos: d/dx [(a+b-1)/(√2 - 1)] = (1)/(√2 - 1) Derivando (a+b-1)/(√2 - 1) em relação a b, temos: d/dy [(a+b-1)/(√2 - 1)] = (1)/(√2 - 1) Como a derivada é positiva em relação a a e b, o valor máximo ocorre quando a = b = 1. Substituindo na expressão, temos: ab/(a+b) ≤ (a+b-1)/(√2 - 1) = (1+1-1)/(√2 - 1) = 1/(√2 - 1) Portanto, a alternativa correta é a letra E) 1.

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