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A equação do plano tangente ao hiperboloide x ao quadrado menos y ao quadrado mais 2 z ao quadrado igual a 1 no ponto (3,4,2) é: 6 x menos 8 y ...

A equação do plano tangente ao hiperboloide x ao quadrado menos y ao quadrado mais 2 z ao quadrado igual a 1 no ponto (3,4,2) é: 6 x menos 8 y mais 8 z mais 2 igual a 0 6 x mais 8 y mais 8 z menos 2 igual a 0 6 x menos 8 y mais 8 z menos 2 igual a 0 6 x menos 8 y menos 8 z menos 2 igual a 0 6 x mais 8 y menos 8 z menos 2 igual a 0

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Para encontrar a equação do plano tangente ao hiperboloide no ponto (3,4,2), podemos utilizar o gradiente da função dada. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular ao plano tangente. Calculando o gradiente da função x^2 - y^2 + 2z^2 = 1, temos: grad(x^2 - y^2 + 2z^2) = (2x, -2y, 4z) Substituindo o ponto (3,4,2) na equação do gradiente, temos: grad(x^2 - y^2 + 2z^2)|_(3,4,2) = (6, -8, 8) Portanto, o vetor normal ao plano tangente é (6, -8, 8). Agora, podemos utilizar a equação geral do plano para encontrar a equação do plano tangente: ax + by + cz + d = 0 Substituindo o ponto (3,4,2) e o vetor normal (6, -8, 8), temos: 6x - 8y + 8z + d = 0 Substituindo novamente o ponto (3,4,2), temos: 6(3) - 8(4) + 8(2) + d = 0 d = -2 Portanto, a equação do plano tangente é: 6x - 8y + 8z - 2 = 0 A alternativa correta é a letra C) 6x - 8y + 8z - 2 = 0.

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