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Se a superfície S é o gráfico de uma função de duas variáveis, ela tem uma equação da forma z equals g left parenthesis x comma y right parenthesi...

Se a superfície S é o gráfico de uma função de duas variáveis, ela tem uma equação da forma z equals g left parenthesis x comma y right parenthesis comma left parenthesis x comma y right parenthesis element of D. Seja S uma superfície z equals x plus y squared comma 0 less or equal than x less or equal than 1 e 0 less or equal than y less or equal than 2 commao valor da integral integral integral subscript S y d S é: a)13 bevelled fraction numerator square root of 2 over denominator 3 end fraction b)bevelled fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 3 end fraction c)bevelled fraction numerator 5 square root of 2 over denominator 3 end fraction d) bevelled fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction e) √ 2 divided by 3

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Para calcular a integral de superfície, precisamos primeiro encontrar o vetor normal unitário da superfície S. Calculando o gradiente da função g(x,y) = x + y², temos: grad(g) = (1, 2y) Então, o vetor normal unitário é dado por: n = (1, 2y, -1) / sqrt(1 + 4y²) Agora, precisamos calcular a integral de superfície: ∫∫S y dS = ∫∫D g(x,y) * n dA Onde D é a projeção da superfície S no plano xy. A projeção de S no plano xy é o retângulo D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 }. Então, temos: ∫∫S y dS = ∫∫D (x + y²) * (1, 2y, -1) / sqrt(1 + 4y²) dA Fazendo a mudança de variáveis u = 1 + 4y², temos: ∫∫S y dS = ∫∫D (x + (u - 1)/4) * (1, u/2 - 1/2, -1) / sqrt(u) du dx Integrando em relação a u, temos: ∫∫S y dS = ∫∫D (x + (u - 1)/4) * (1, u/2 - 1/2, -1) / sqrt(u) du dx = ∫₀² ∫₀¹ (x/2 + u/8 - 1/8) sqrt(u) du dx = 13/6 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 13/6.

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